Trigonometrische Funktionen.

Zur Ecke \(\alpha\) gilt: Gegenkathete \(g=3\), Ankathete \(a=4\), Hypotenuse \(h=5\). Kontrolliere: \(3^2+4^2=9+16=25=5^2\).

\(\begin{aligned}{\color{#c2410c}\sin}(\alpha)&=\frac{g}{h}=\frac{3}{5}=0{,}6\\{\color{#047857}\cos}(\alpha)&=\frac{a}{h}=\frac{4}{5}=0{,}8\\{\color{#0369a1}\tan}(\alpha)&=\frac{g}{a}=\frac{3}{4}=0{,}75\end{aligned}\)

Sinus und Kosinus des spitzen Winkels liegen zwischen \(0\) und \(1\). Außerdem gilt \({\color{#0369a1}\tan}(\alpha)=\frac{{\color{#c2410c}\sin}(\alpha)}{{\color{#047857}\cos}(\alpha)}=\frac{0{,}6}{0{,}8}=0{,}75\).

\(\begin{aligned}h^2&=1^2+1^2=2\\h&=\sqrt2\end{aligned}\)

Eine Seitenlänge ist positiv. Deshalb verwenden wir die positive Wurzel.

\(\begin{aligned}{\color{#c2410c}\sin}(45^\circ)&=\frac{1}{\sqrt2}\\{\color{#047857}\cos}(45^\circ)&=\frac{1}{\sqrt2}\end{aligned}\)

\(\frac{1}{\sqrt2}=\frac{1\cdot\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\)

Somit sind beide Werte exakt \(\frac{\sqrt2}{2}\). Auf drei Nachkommastellen: \(0{,}707\).

\(\begin{aligned}h^2+1&=4\\h^2&=3\\h&=\sqrt3\end{aligned}\)

Zur Spitze mit \(30^\circ\) ist die Gegenkathete \(1\) und die Ankathete \(\sqrt3\).

\(\begin{aligned}{\color{#c2410c}\sin}(30^\circ)&=\frac12\\{\color{#047857}\cos}(30^\circ)&=\frac{\sqrt3}{2}\end{aligned}\)

Jetzt tauschen Gegen- und Ankathete ihre Rollen.

\(\begin{aligned}{\color{#c2410c}\sin}(60^\circ)&=\frac{\sqrt3}{2}\\{\color{#047857}\cos}(60^\circ)&=\frac12\end{aligned}\)

\(\sqrt3\approx1{,}732\) und \(\frac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866\).

Der Startpunkt ist \(P(0^\circ)=(1\mid0)\). Der Kreisradius beträgt \(1\).

Nach \(90^\circ\) liegt der Punkt oben: \(P(90^\circ)=(0\mid1)\). Daraus folgen \({\color{#047857}\cos}(90^\circ)=0\) und \({\color{#c2410c}\sin}(90^\circ)=1\).

Nach \(180^\circ\) liegt der Punkt links: \(P(180^\circ)=(-1\mid0)\). Daraus folgen \({\color{#047857}\cos}(180^\circ)=-1\) und \({\color{#c2410c}\sin}(180^\circ)=0\).

Die Entfernung zur negativen \(x\)-Achse beträgt \(180^\circ-135^\circ=45^\circ\). Deshalb haben die Koordinaten dieselben Beträge wie bei \(45^\circ\).

Im zweiten Quadranten ist \(x<0\) und \(y>0\). Also lautet der Kreispunkt \(P(135^\circ)=(-\frac{\sqrt2}{2}\mid\frac{\sqrt2}{2})\).

\(\begin{aligned}{\color{#c2410c}\sin}(135^\circ)&=\frac{\sqrt2}{2}\approx0{,}707\\{\color{#047857}\cos}(135^\circ)&=-\frac{\sqrt2}{2}\approx-0{,}707\end{aligned}\)

Von Grad zu Radiant multiplizieren wir mit \(\frac{\pi}{180^\circ}\). Der Winkel selbst bleibt derselbe.

\(\begin{aligned}x&=90^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}\\&=\frac{\pi}{2}\approx1{,}571\end{aligned}\)

\(\begin{aligned}x&=180^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}\\&=\pi\approx3{,}142\end{aligned}\)

Die Zahlenwerte sind in Radiant angegeben. \(\pi\) entspricht hier genau einer halben Drehung.

Wenn der Zahlenwert in Radiant \(x\) ist, lautet das Gradmaß \(\alpha=x\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\).

\(\frac{\pi}{6}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\frac{180^\circ}{6}=30^\circ\)

\(\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\frac{3\cdot180^\circ}{2}=270^\circ\)

\(30^\circ\) ist ein Zwölftel einer vollen Drehung; \(270^\circ\) sind drei Viertel einer vollen Drehung.

Die Stellen entsprechen \(0^\circ\), \(90^\circ\), \(180^\circ\), \(270^\circ\) und \(360^\circ\).

\(\begin{aligned}{\color{#c2410c}\sin}0&=0\\{\color{#c2410c}\sin}\frac\pi2&=1\\{\color{#c2410c}\sin}\pi&=0\\{\color{#c2410c}\sin}\frac{3\pi}{2}&=-1\\{\color{#c2410c}\sin}2\pi&=0\end{aligned}\)

Die Punkte lauten \((0\mid0)\), \((\frac\pi2\mid1)\), \((\pi\mid0)\), \((\frac{3\pi}{2}\mid-1)\) und \((2\pi\mid0)\). Auf der waagerechten Graphachse steht der Winkel; auf der senkrechten steht seine Kreispunkthöhe.

Gesucht sind die Winkel, bei denen die \(x\)-Koordinate des Kreispunkts \(0\) ist.

\(\begin{aligned}x_1&=\frac\pi2\approx1{,}571\\x_2&=\frac{3\pi}{2}\approx4{,}712\end{aligned}\)

Beide Zahlen liegen in \([0;2\pi)\). Die Randwerte erfüllen \({\color{#047857}\cos}0={\color{#047857}\cos}2\pi=1\) und sind keine Nullstellen. In einer vollen Drehung gibt es genau die beiden gesuchten Achsenschnittpunkte.

\({\color{#c2410c}\sin}45^\circ={\color{#047857}\cos}45^\circ=\sqrt2/2\). Für \(135^\circ\) gilt \({\color{#c2410c}\sin}135^\circ=\sqrt2/2\), aber \({\color{#047857}\cos}135^\circ=-\sqrt2/2\).

\({\color{#0369a1}\tan}45^\circ=\frac{\sqrt2/2}{\sqrt2/2}=1\)

\({\color{#0369a1}\tan}135^\circ=\frac{\sqrt2/2}{-\sqrt2/2}=-1\)

Eine positive Zahl geteilt durch eine negative Zahl ist negativ.

Der Faktor \(2\) streckt die Sinuswerte in senkrechter Richtung. Die Amplitude lautet \(A=|2|=2\).

Das anschließende \(+1\) verschiebt den ganzen Graphen um \(1\) nach oben. Die Mittellinie ist \(y=1\), also \(d=1\).

\(\begin{aligned}f_{\min}&=1-2=-1\\f_{\max}&=1+2=3\\W&=[-1;3]\end{aligned}\)

Die Spanne vom Tiefpunkt zum Hochpunkt beträgt \(4\); die Amplitude ist die Hälfte davon.

\(\begin{aligned}2(x+T)-2x&=2\pi\\2T&=2\pi\\T&=\pi\approx3{,}142\end{aligned}\)

\(\begin{aligned}g\left(\frac\pi4\right)&={\color{#c2410c}\sin}\left(2\cdot\frac\pi4\right)\\&={\color{#c2410c}\sin}\frac\pi2=1\end{aligned}\)

Der Abschnitt hat Länge \(2\pi\). Die Anzahl vollständiger Perioden ist \(\frac{2\pi}{\pi}=2\). Die Amplitude bleibt \(1\), weil kein Faktor vor dem Sinus steht.

\(\begin{aligned}a&=2,&b&=2\\c&=\frac\pi4,&d&=1\end{aligned}\)

Die Amplitude ist \(2\), die Mittellinie \(y=1\), und die Sinuswelle ist um \(\pi/4\) nach rechts verschoben.

\(T=\frac{2\pi}{|b|}=\frac{2\pi}{2}=\pi\)

\(\begin{aligned}f\left(\frac\pi4\right)&=2{\color{#c2410c}\sin}\left(2\left(\frac\pi4-\frac\pi4\right)\right)+1\\&=2{\color{#c2410c}\sin}0+1\\&=2\cdot0+1=1\end{aligned}\)

\(a=\frac{4-(-2)}{2}=\frac62=3\)

Die positive Wahl ist vorgegeben.

\(d=\frac{4+(-2)}{2}=\frac22=1\)

\(\begin{aligned}b&=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{\pi}=2\\c&=\frac\pi6\end{aligned}\)

Da \(a\) und \(b\) positiv sind, ist \(x=c\) ein aufsteigender Mittelliniendurchgang. Die Vorgabe \(0\le c<\pi\) wählt seine eindeutige Darstellung in einer Periode.

\(f(x)=3{\color{#c2410c}\sin}\left(2\left(x-\frac\pi6\right)\right)+1\)

Die Grenzwerte sind \(1-3=-2\) und \(1+3=4\). Die Periode ist \(2\pi/2=\pi\). Bei \(x=\pi/6\) ist der Wert \(1\), und unmittelbar rechts davon steigt der Sinus.

Aus dem halbierten gleichseitigen Dreieck wissen wir \({\color{#c2410c}\sin}30^\circ=1/2\). Also ist \(\alpha_1=30^\circ\).

Die Höhe \(1/2\) ist positiv. Der zweite Schnittpunkt liegt links oben im zweiten Quadranten.

\(\alpha_2=180^\circ-30^\circ=150^\circ\)

\({\color{#c2410c}\sin}30^\circ={\color{#c2410c}\sin}150^\circ=1/2\). In den unteren Quadranten ist der Sinus negativ; dort entstehen keine weiteren Lösungen. Im vorgegebenen Intervall lautet die Lösungsmenge \(\{30^\circ;150^\circ\}\).

Der Betrag des gesuchten Kosinuswerts ist \(1/2\). Dazu passt der Bezugswinkel \(\pi/3=60^\circ\).

Links im Kreis ist Kosinus negativ. Die beiden passenden Quadranten sind \(\mathrm{II}\) und \(\mathrm{III}\).

\(\begin{aligned}x_1&=\pi-\frac\pi3=\frac{2\pi}{3}\\x_2&=\pi+\frac\pi3=\frac{4\pi}{3}\end{aligned}\)

Beide Werte liegen in \([0;2\pi)\) und haben Kosinus \(-1/2\). Numerisch sind sie \(x_1\approx2{,}094\) und \(x_2\approx4{,}189\). Die senkrechte Gerade mit Kreiskoordinate \(-1/2\) hat genau diese beiden Schnittpunkte.

\(\begin{aligned}2{\color{#c2410c}\sin}(2x)-1&=0\\2{\color{#c2410c}\sin}(2x)&=1\\{\color{#c2410c}\sin}(2x)&=\frac12\end{aligned}\)

Setze \(u=2x\). Der Suchbereich wird \(0\le u<4\pi\). In der ersten Periode sind \(u=\pi/6\) und \(u=5\pi/6\) die Lösungen.

\(\begin{aligned}u_1&=\frac\pi6,&u_2&=\frac{5\pi}{6}\\u_3&=\frac\pi6+2\pi=\frac{13\pi}{6}\\u_4&=\frac{5\pi}{6}+2\pi=\frac{17\pi}{6}\end{aligned}\)

\(\begin{aligned}x_1&=\frac\pi{12},&x_2&=\frac{5\pi}{12}\\x_3&=\frac{13\pi}{12},&x_4&=\frac{17\pi}{12}\end{aligned}\)

Gerundet: \(0{,}262\), \(1{,}309\), \(3{,}403\), \(4{,}451\). Alle Werte liegen in \([0;2\pi)\). Jeder liefert \({\color{#c2410c}\sin}(2x)=1/2\), also \(2\cdot1/2-1=0\).

Der Mittelpunkt liefert \(d=12\), der Radius liefert \(r=10\). Tiefster und höchster Punkt liegen bei \(12-10=2\,\mathrm m\) und \(12+10=22\,\mathrm m\).

\(\begin{aligned}\omega\cdot40&=2\pi\\\omega&=\frac{2\pi}{40}=\frac\pi{20}\end{aligned}\)

Die Einheit ist Radiant pro Sekunde. Damit lautet das Modell \(h(t)=12-10{\color{#047857}\cos}(\frac\pi{20}t)\).

\(\begin{aligned}h(0)&=12-10{\color{#047857}\cos}0\\&=12-10=2\\h(10)&=12-10{\color{#047857}\cos}\frac\pi2\\&=12-0=12\\h(20)&=12-10{\color{#047857}\cos}\pi\\&=12+10=22\end{aligned}\)

Nach \(10\,\mathrm s\) ist eine Vierteldrehung erreicht: Die Gondel ist auf Mittelpunktshöhe. Nach \(20\,\mathrm s\) ist sie nach einer halben Drehung oben. Nach \(40\,\mathrm s\) ist sie wieder unten. Der Wertebereich ist \([2;22]\,\mathrm m\).