Erkunde Parabeln, verknüpfe Darstellungen und überprüfe deine Ergebnisse.
Scheitelpunkt und Symmetrieachse sind direkt ablesbar.
Verändere die Parameter der gewählten Form. Für \(a\) gelten \(0{,}1\)-Schritte, für die übrigen Parameter \(0{,}5\)-Schritte. Der Regler überspringt \(a=0\); der Koordinatenausschnitt bleibt fest.
Die Grundlage: Eine quadratische Funktion hat die Form \(f(x) = ax^2 + bx + c\) mit \(a \neq 0\). Ihr Graph ist eine Parabel; die Definitionsmenge ist \(\mathbb{R}\).
\(02\) / PARAMETER VERSTEHEN
In \(a(x - d)^2 + e\) übernimmt jeder Parameter eine eigene Aufgabe.
Strecken, stauchen, spiegeln
\(f(x) = \frac{1}{2}x^2\)
\(a > 0\): nach oben geöffnet.
\(a < 0\): nach unten geöffnet.
\(\lvert a\rvert > 1\): schmaler als \(y = x^2\).
\(0 < \lvert a\rvert < 1\): breiter als \(y = x^2\).
Bei \(\lvert a\rvert = 1\) bleibt die Breite gleich. \(a\) ist keine konstante Steigung.
Nach links oder rechts verschieben
\(f(x) = (x - 2)^2\)
\(d > 0\): nach rechts.
\(d < 0\): nach links.
Die Symmetrieachse ist \(x = d\). Hier liegt der Scheitel bei \(S(2 | 0)\).
Vorzeichen beachten: \((x + 2)^2 = (x - (-2))^2\) verschiebt nach links.
Nach oben oder unten verschieben
\(f(x) = x^2 - 2\)
\(e > 0\): nach oben.
\(e < 0\): nach unten.
\(e\) ist die Scheitelhöhe. Für \(a > 0\) das Minimum, für \(a < 0\) das Maximum.
Wertebereich: \(a > 0 \Rightarrow [e; \infty)\), \(a < 0 \Rightarrow (-\infty; e]\).
Violett: jeweilige Beispielfunktion · Grau gestrichelt: \(y = x^2\). In jedem Vergleich ändert sich nur ein Parameter.
\(03\) / DARSTELLUNGEN VERKNÜPFEN
Wähle die Form danach, welche Eigenschaft du bestimmen möchtest.
\(ax^2 + bx + c\)
\(\frac{1}{2}x^2 - 2x\)
Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(c = f(0)\). Hier gilt \(c = 0\): Der Graph geht durch den Ursprung.
GUT FÜR · \(y\)-ACHSENABSCHNITT\(a(x - d)^2 + e\)
\(\frac{1}{2}(x - 2)^2 - 2\)
Du liest den Scheitelpunkt direkt ab: \(S(d | e)\). Hier \(S(2 | -2)\); Symmetrieachse \(x = 2\).
GUT FÜR · EXTREMUM & SYMMETRIE\(a(x - x_1)(x - x_2)\)
\(\frac{1}{2}x(x - 4)\)
Die reellen Nullstellen stehen in den Faktoren. Hier \(x_1=0\quad\text{und}\quad x_2=4\). Diese Form setzt reelle Nullstellen voraus.
GUT FÜR · NULLSTELLENDER RECHENWEG
Halbiere den Koeffizienten vor \(x\) innerhalb der Klammer. Ergänze sein Quadrat und ziehe es wieder ab.
\(04\) / NULLSTELLEN BESTIMMEN
Verändere die Koeffizienten, lies Schnittpunkte am Graphen ab und berechne die Nullstellen mit der pq-Formel.
ZUERST NORMIEREN
Die pq-Formel gilt für eine Gleichung, in der vor \(x^2\) der Koeffizient \(1\) steht. Gehe deshalb immer zuerst von \(f(x)=0\) zur normierten Gleichung über.
\(x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\)
Für die normierte Gleichung \(x^2+px+q=0\) mit \(p,q\in\mathbb{R}\). Der Ausdruck unter der Wurzel muss für reelle Lösungen nichtnegativ sein.
NULLSTELLEN-LABOR
\(f(x)=x^2+px+q\)
Stelle \(p\) und \(q\) unabhängig voneinander ein. Beobachte, wie sich die Parabel verändert, und lies ihre Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse ab.
\(f(x)=x^2-4x+3\)
\(D=\left(\frac{-4}{2}\right)^2-(3)\)
\(D=1\)
Zwei Schnittpunkte\(x_1=1\)
\(x_2=3\)
PQ-FORMEL ANWENDEN
Gesucht sind die Nullstellen von \(f(x)=2x^2-8x+6\). Vier kurze Schritte führen dich zum Ergebnis.
Setze die Funktion gleich \(0\) und teile jeden Term durch \(2\).
\(2x^2-8x+6=0\)
\(\Longleftrightarrow\ x^2-4x+3=0\)
Jetzt steht vor \(x^2\) der Koeffizient \(1\).
Vergleiche die normierte Gleichung mit \(x^2+px+q=0\).
\(p=-4,\qquad q=3\)
Das Minus gehört zu \(p\). Lies den Koeffizienten mit seinem Vorzeichen ab.
Setze die Werte mit ihren Vorzeichen ein und rechne von innen nach außen.
\(x_{1,2}=-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-3}\)
\(=2\pm\sqrt{4-3}\)
\(=2\pm 1\)
Rechne einmal mit \(-\) und einmal mit \(+\).
\(x_1=2-1=1\)
\(x_2=2+1=3\)
Setze beide Werte in die ursprüngliche Gleichung ein.
Probe für \(x_1=1\):
\(2\cdot 1^2-8\cdot 1+6\)
\(=2-8+6=0\)
Probe für \(x_2=3\):
\(2\cdot 3^2-8\cdot 3+6\)
\(=18-24+6=0\)
Beide Werte erfüllen die Gleichung. Die Schnittpunkte sind \(N_1(1\mid 0)\) und \(N_2(3\mid 0)\).
\(05\) / SELBST DENKEN
Wähle deine Stufe, rechne zuerst selbst und prüfe dann deine Antworten. Die Hinweise helfen schrittweise; der vollständige Lösungsweg bleibt aufklappbar.
Grundlagen: sicher ablesen und die pq-Formel anwenden. Aufbau: Darstellungen verbinden und Lösungen geometrisch einordnen. Transfer: aus Nullstellen rekonstruieren, Sachmodelle auswerten und eine Parametergrenze begründen.
\(9\) Aufgaben aus allen Stufen.
Gib Zahlen mit Komma oder Punkt ein. Bei irrationalen Ergebnissen reichen drei Nachkommastellen; Wurzelausdrücke sind ebenfalls möglich. Begründe deine Entscheidungen zusätzlich auf Papier oder im Gespräch.
Gegeben ist \(f(x)=-2(x-3)^2+4\).
Lies den Scheitelpunkt ab. Entscheide, in welche Richtung die Parabel geöffnet ist und ob der Scheitel ein Minimum oder ein Maximum ist. Begründe das Extremum mit dem Vorzeichen des quadratischen Terms.
Vergleiche mit \(f(x)=a(x-d)^2+e\). Im Scheitel wird der Klammerterm \(0\); dort gilt \(x=d\) und \(f(d)=e\).
Prüfe das Vorzeichen von \(a\). Bei \(a<0\) ist der quadratische Term nie positiv: Der Scheitel ist der höchste Punkt.
Aus \(a=-2\), \(d=3\) und \(e=4\) folgt der Scheitelpunkt \(S(3\mid4)\).
Weil \(a<0\), ist die Parabel nach unten geöffnet. Für alle \(x\in\mathbb R\) gilt \(-2(x-3)^2\le0\), also \(f(x)\le4\). Der Scheitel ist deshalb ein Maximum.
Die Symmetrieachse lautet \(x=3\). Da \(\lvert a\rvert=2>1\), ist die Parabel schmaler als die Normalparabel.
Löse die Gleichung \(x^2-6x+8=0\).
Lies \(p\) und \(q\) ab und setze beide direkt in die pq-Formel ein. Berechne die Lösungen und prüfe sie durch Einsetzen. Erkläre, warum das Plus und das Minus hier verschiedene Ergebnisse liefern.
Vergleiche mit \(x^2+px+q=0\). Das Vorzeichen vor dem linearen Term gehört zu \(p\).
Nutze \(x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}\). Hier erhältst du \(x_{1,2}=3\pm\sqrt{(-3)^2-8}\).
Die Gleichung ist bereits normiert. Es gilt \(p=-6\) und \(q=8\).
\(x_{1,2}=-\frac{-6}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2-8}=3\pm\sqrt1=3\pm1\)
Damit sind \(x_1=2\) und \(x_2=4\). Weil \(\sqrt1=1>0\), liefern Addition und Subtraktion verschiedene Ergebnisse.
Probe: \(2^2-6\cdot2+8=4-12+8=0\) und \(4^2-6\cdot4+8=16-24+8=0\).
Löse die Gleichung \(2x^2+8x-10=0\).
Bringe sie zuerst in die Form \(x^2+px+q=0\). Lies \(p\) und \(q\) ab und berechne beide Lösungen mit der pq-Formel. Begründe, warum das Normieren die Lösungsmenge nicht verändert.
Die pq-Formel setzt voraus, dass vor \(x^2\) der Koeffizient \(1\) steht. Teile dafür die gesamte Gleichung durch \(2\).
Du erhältst \(x^2+4x-5=0\). Setze \(p=4\) und \(q=-5\) ein: \(x_{1,2}=-2\pm\sqrt{2^2-(-5)}\). Beim Subtrahieren einer negativen Zahl entsteht ein Plus.
\(2x^2+8x-10=0\iff x^2+4x-5=0\)
Das Teilen der gesamten Gleichung durch die von \(0\) verschiedene Zahl \(2\) ist eine Äquivalenzumformung: Genau dieselben Werte erfüllen beide Gleichungen.
Also \(p=4\) und \(q=-5\).
\(x_{1,2}=-\frac42\pm\sqrt{\left(\frac42\right)^2-(-5)}=-2\pm\sqrt9=-2\pm3\)
Die Lösungen sind \(x_1=-5\) und \(x_2=1\).
Probe in der ursprünglichen Gleichung: \(2\cdot(-5)^2+8\cdot(-5)-10=50-40-10=0\) und \(2\cdot1^2+8\cdot1-10=0\).
Gegeben ist \(f(x)=x^2-6x+5\).
Bestimme durch quadratische Ergänzung die Scheitelpunktform \(f(x)=(x-d)^2+e\). Berechne die Nullstellen mit der pq-Formel und notiere die Produktform. Erkläre, wie die Lage der Nullstellen die Symmetrieachse bestätigt.
Für \((x-3)^2\) benötigst du den konstanten Term \(9\). Addiere und subtrahiere ihn, damit sich die Funktion nicht ändert.
Setze \(p=-6\) und \(q=5\) direkt ein: \(x_{1,2}=3\pm\sqrt{(-3)^2-5}\). Aus den Nullstellen entstehen die Faktoren \((x-x_1)\) und \((x-x_2)\).
\(f(x)=x^2-6x+9-9+5=(x-3)^2-4\)
Damit sind \(d=3\), \(e=-4\) und \(S(3\mid-4)\).
Für die Nullstellen löst du \(x^2-6x+5=0\) mit \(p=-6\) und \(q=5\).
\(x_{1,2}=-\frac{-6}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2-5}=3\pm\sqrt4=3\pm2\)
Die Nullstellen sind \(x_1=1\), \(x_2=5\); die Produktform lautet \(f(x)=(x-1)(x-5)\).
Probe durch Ausmultiplizieren: \((x-1)(x-5)=x^2-6x+5\). Der Mittelwert der Nullstellen ist \(\frac{1+5}{2}=3\); beide liegen im Abstand \(2\) zur Symmetrieachse \(x=3\).
Eine Parabel hat den Scheitelpunkt \(S(-2\mid-3)\) und verläuft durch \(P(1\mid15)\).
Bestimme die Scheitelpunktform, die Normalform und die Nullstellen. Berechne die Nullstellen mit der pq-Formel und überprüfe den Punkt \(P\). Begründe, warum der weitere Punkt den Faktor \(a\) eindeutig festlegt.
Setze zuerst \(f(x)=a(x+2)^2-3\) an. Der Punkt \(P\) liefert eine Gleichung für den noch unbekannten Faktor \(a\).
Aus \(P(1\mid15)\) folgt \(15=9a-3\). Multipliziere anschließend aus. Vor der pq-Formel musst du die Nullstellengleichung durch \(a\) teilen.
Der Scheitel liefert \(f(x)=a(x+2)^2-3\). Mit dem weiteren Punkt gilt \(15=a\cdot3^2-3\), also \(18=9a\) und \(a=2\). Der Faktor vor \(a\) ist \(9\ne0\); deshalb ergibt sich genau ein Wert für \(a\).
\(f(x)=2(x+2)^2-3=2x^2+8x+5\)
Nullstellen bestimmen und normieren: \(2x^2+8x+5=0\iff x^2+4x+\frac52=0\).
Setze \(p=4\) und \(q=\frac52\) direkt in die pq-Formel ein.
\(x_{1,2}=-\frac42\pm\sqrt{\left(\frac42\right)^2-\frac52}=-2\pm\sqrt{\frac32}=-2\pm\frac{\sqrt6}{2}\)
Also \(x_1\approx-3{,}225\) und \(x_2\approx-0{,}775\). Probe für den Punkt: \(f(1)=2\cdot9-3=15\).
Gegeben ist \(f(x)=x^2+4x+7\).
Bestimme durch quadratische Ergänzung den Scheitelpunkt und den kleinsten Funktionswert. Entscheide anhand des Graphen, wie viele reelle Nullstellen es gibt. Begründe, warum \(f(x)=0\) keine reelle Lösung hat.
Ergänze \(x^2+4x\) zu \((x+2)^2\). Dafür benötigst du \(4\); die Ergänzung musst du wieder ausgleichen.
Es gilt \(f(x)=(x+2)^2+3\). Ein Quadrat ist immer mindestens \(0\). Überlege, wo die nach oben geöffnete Parabel im Verhältnis zur \(x\)-Achse liegt.
\(f(x)=x^2+4x+4-4+7=(x+2)^2+3\)
Der Scheitel ist \(S(-2\mid3)\). Weil \((x+2)^2\ge0\), gilt überall \(f(x)\ge3>0\). Der gesamte Graph liegt über der \(x\)-Achse und besitzt keine reellen Nullstellen.
Eine quadratische Funktion hat die Nullstellen \(x_1=-1\) und \(x_2=3\). Ihr Graph verläuft durch \(P(0\mid-6)\).
Bestimme die Produktform, die Normalform \(f(x)=ax^2+bx+c\) und den Scheitelpunkt. Begründe, warum die Nullstellen allein den Öffnungsfaktor noch nicht festlegen, der weitere Punkt hier aber genügt.
Bei den Nullstellen wird jeweils ein Faktor null. Setze \(f(x)=a(x+1)(x-3)\) mit \(a\ne0\) an.
Aus \(P(0\mid-6)\) folgt \(-6=a\cdot1\cdot(-3)\). Bestimme daraus \(a\) und multipliziere anschließend die Produktform aus.
Klammere den Öffnungsfaktor aus und ergänze quadratisch. Die Symmetrieachse liegt außerdem genau zwischen den Nullstellen: \(x=\frac{x_1+x_2}{2}\).
Aus den Nullstellen folgt \(f(x)=a(x+1)(x-3)\). Mit dem Punkt gilt \(-6=a\cdot1\cdot(-3)=-3a\), also \(a=2\).
\(f(x)=2(x+1)(x-3)=2x^2-4x-6\)
Die Scheitelpunktform erhältst du durch quadratische Ergänzung:
\(f(x)=2(x^2-2x-3)=2\bigl((x-1)^2-4\bigr)=2(x-1)^2-8\)
Der Scheitel ist \(S(1\mid-8)\). Seine \(x\)-Koordinate stimmt mit dem Mittelwert der Nullstellen überein: \(\frac{-1+3}{2}=1\).
Jeder Faktor \(a\ne0\) in \(a(x+1)(x-3)\) liefert dieselben Nullstellen. Der weitere Punkt legt hier \(a\) eindeutig fest, weil das Produkt der Faktoren bei \(x=0\) gleich \(-3\ne0\) ist.
Probe: \(f(-1)=f(3)=0\) und \(f(0)=2\cdot1\cdot(-3)=-6\).
Die Ballhöhe wird bis zur Landung durch \(h(t)=-5t^2+20t+5\) modelliert. Dabei ist \(t\) die Zeit in \(\mathrm{s}\) ab dem Abwurf bei \(t=0\); \(h(t)\) ist die Höhe in \(\mathrm{m}\).
Bestimme den Zeitpunkt und die Höhe des Maximums, die Landungszeit und den Zeitraum, in dem der Ball mindestens \(20\,\mathrm{m}\) hoch ist. Begründe, welche rechnerische Zeitlösung zum Flug gehört.
Klammere \(-5\) aus und ergänze quadratisch. Der Scheitel der nach unten geöffneten Parabel liefert Zeitpunkt und Höhe des Maximums.
Setze \(h(t)=0\) und teile vor der pq-Formel durch \(-5\). Du erhältst \(t^2-4t-1=0\). Im Modell gilt \(t\ge0\).
Berechne zuerst die Randzeiten mit \(h(t)=20\). Prüfe dann, ob die Höhe zwischen oder außerhalb dieser Zeiten mindestens \(20\,\mathrm{m}\) ist. Die Randzeiten gehören dazu.
\(h(t)=-5(t^2-4t)+5=-5(t-2)^2+25\)
Der quadratische Term ist nie positiv. Daher beträgt die maximale Höhe \(25\,\mathrm{m}\) zum Zeitpunkt \(t=2\,\mathrm{s}\).
Landung: \(h(t)=0\iff t^2-4t-1=0\). Setze \(p=-4\) und \(q=-1\) direkt in die pq-Formel ein:
\(t_{1,2}=-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-(-1)}=2\pm\sqrt5\)
Die Lösung \(2-\sqrt5<0\) liegt vor dem Abwurf. Zum Flug gehört \(t=2+\sqrt5\approx4{,}236\,\mathrm{s}\).
Randzeiten für die Höhe: \(h(t)=20\iff t^2-4t+3=0\). Mit \(p=-4\) und \(q=3\) ergibt die pq-Formel \(t_{1,2}=2\pm\sqrt{(-2)^2-3}=2\pm1\).
Die Randzeiten sind \(1\,\mathrm{s}\) und \(3\,\mathrm{s}\). Zwischen ihnen gilt \(h(t)\ge20\), etwa weil \(h(t)=-5(t-2)^2+25\) und dort \((t-2)^2\le1\).
\(1\,\mathrm{s}\le t\le3\,\mathrm{s}\)
Probe: \(h(1)=h(3)=20\,\mathrm{m}\), \(h(2)=25\,\mathrm{m}\). Beide Randzeiten gehören zum gesuchten Zeitraum.
Gegeben ist \(g_k(x)=x^2-4x+k\) mit \(k\in\mathbb R\).
Für welche Werte von \(k\) gilt \(g_k(x)\ge0\) für alle \(x\in\mathbb R\)? Bestimme die Parametergrenze \(k_0\), die passende Seite der Grenze und die Berührstelle im Grenzfall.
Begründe deine Antwort mit dem Scheitelpunkt und erkläre, weshalb die Grenze zum gesuchten Bereich gehört. Zeige außerdem, warum ein positiver \(y\)-Achsenabschnitt allein nicht genügt.
Schreibe \(x^2-4x+k=x^2-4x+4-4+k\). Damit kannst du den Scheitel und den kleinsten Funktionswert ablesen.
Es gilt \(g_k(x)=(x-2)^2+k-4\). Ein Quadrat ist immer mindestens \(0\), also ist der kleinste Funktionswert genau \(k-4\). Welches Vorzeichen muss dieser Wert haben?
\(g_k(x)=(x-2)^2+k-4\)
Weil \((x-2)^2\ge0\), ist das Minimum genau \(k-4\), angenommen bei \(x=2\). Daher gilt die Forderung genau dann, wenn \(k-4\ge0\).
\(g_k(x)\ge0\text{ für alle }x\in\mathbb R\iff k\ge4\)
Die Grenze ist \(k_0=4\). Im Grenzfall gilt \(g_4(x)=(x-2)^2\ge0\); der Graph berührt die Achse in \(S(2\mid0)\). Die Grenze gehört dazu, weil auch der Wert \(0\) erlaubt ist.
Für \(k>4\) liegt das Minimum über der Achse. Für \(k<4\) ist bereits \(g_k(2)=k-4<0\), sodass die Forderung nicht erfüllt ist.
Ein positiver \(y\)-Achsenabschnitt allein reicht nicht: Für \(k=1\) ist \(g_1(0)=1>0\), aber \(g_1(2)=-3<0\). Entscheidend ist das Minimum, nicht ein einzelner Funktionswert.
