Gegenüber durch lang
\(\sin({\color{#6366f1}\alpha})=\frac{{\color{#c2410c}G}}{H}\)
Der Sinus vergleicht die Gegenkathete mit der Hypotenuse.
Formeln und Werkzeuge werden geladen …
Trigonometrische Funktionen.
Vom rechtwinkligen Dreieck über den Einheitskreis zur Welle: Jeder Schritt baut auf dem vorherigen auf. Nimm dir Zeit zum Zeichnen, Ausprobieren und Erklären.
Beobachten Verfolge einen Zusammenhang.Ausprobieren Verändere eine Größe.Erklären Prüfe dich vor dem Weitergehen.
Dein Tempo zählt: Bearbeite zuerst die Stationen \(1\) bis \(5\). Wenn du Winkel und Kreis sicher verstehst, gehe zu den Funktionsgraphen weiter. Beantworte das Quiz am Ende jeder Station. Nach „Antwort prüfen“ bekommst du direkt eine Erklärung. Die aufklappbaren Beispiele helfen dir beim Nachlesen. Mit „Station verstanden“ markierst du deinen Weg.
\(01\) / BEIM DREIECK ANFANGEN
Ein Winkel. Drei Seitenverhältnisse.
Dein Ziel: Du ordnest die Seiten zu einem Winkel zu und berechnest Sinus, Kosinus und Tangens.
Zuerst die Seiten benennen.
Betrachte den markierten spitzen Winkel \(\alpha\) im rechtwinkligen Dreieck.
- Hypotenuse \(H\) finden.Sie liegt gegenüber dem rechten Winkel und ist die längste Seite.
- Gegenkathete \(G\) finden.Sie liegt gegenüber deinem Winkel \(\alpha\).
- Ankathete \(A\) finden.Sie liegt an \(\alpha\) und ist eine der beiden kürzeren Seiten.
Die Namen \(G\) und \(A\) beziehen sich immer auf den ausgewählten Winkel.
Anliegend durch lang
\(\cos({\color{#6366f1}\alpha})=\frac{{\color{#047857}A}}{H}\)
Der Kosinus vergleicht die Ankathete mit der Hypotenuse.
Gegenüber durch anliegend
\(\tan({\color{#6366f1}\alpha})=\frac{{\color{#c2410c}G}}{{\color{#047857}A}}\)
Der Tangens vergleicht die beiden Katheten miteinander.
EIN VERHÄLTNIS BERECHNEN
Das \(3\)-\(4\)-\(5\)-Dreieck.
Hier gilt \({\color{#c2410c}G=3}\), \({\color{#047857}A=4}\), \(H=5\). Die Seitenlängen erfüllen \(3^2+4^2=5^2\).
Vergrößerst du alle Seiten um denselben Faktor, bleibt der Winkel gleich. Die Verhältnisse bleiben ebenfalls gleich: \(\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\).
- \(\sin({\color{#6366f1}\alpha})=\frac{{\color{#c2410c}3}}{5}={\color{#c2410c}0{,}6}\)Wähle Gegenkathete und Hypotenuse.
- \(\cos({\color{#6366f1}\alpha})=\frac{{\color{#047857}4}}{5}={\color{#047857}0{,}8}\)Wähle Ankathete und Hypotenuse.
- \(\tan({\color{#6366f1}\alpha})=\frac{{\color{#c2410c}3}}{{\color{#047857}4}}=0{,}75\)Du kennst drei Verhältnisse, obwohl der Winkel noch keine Zahl als Namen hat.
BEOBACHTEN
Wähle nun den anderen spitzen Winkel. Welche Kathete ist seine Gegenkathete? Welche Seitenbezeichnung bleibt gleich?
Zum Nachlesen: Was gilt für den anderen spitzen Winkel \(\beta\)?
Gegenkathete und Ankathete tauschen ihre Rollen: \(G=4\), \(A=3\). Die Hypotenuse bleibt \(5\).
Deshalb gilt \({\color{#c2410c}\sin}(\beta)=\frac45\), \({\color{#047857}\cos}(\beta)=\frac35\) und \({\color{#0369a1}\tan}(\beta)=\frac43\). Zudem ist \(\alpha+\beta=90^\circ\).
\(02\) / DAS DREIECK IN DEN KREIS LEGEN
Sinus und Kosinus als Koordinaten.
Dein Ziel: Du liest Sinus und Kosinus am Einheitskreis ab.
Ein Kreis mit Radius \(1\).
Start: positive waagerechte Achse. Positive Winkel drehen gegen den Uhrzeigersinn, negative Winkel im Uhrzeigersinn. Die farbigen Strecken zeigen die vorzeichenbehafteten Koordinaten des Punktes.
Waagerecht: KosinusSenkrecht: SinusWinkel
DIE VERBINDUNG ZUM DREIECK
Warum passt das zusammen?
Im ersten Quadranten bilden Radius und Projektionen ein rechtwinkliges Dreieck. Der Radius ist seine Hypotenuse.
- \(H=1\)Der Einheitskreis hat den Radius eins.
- \({\color{#047857}\cos}(\alpha)=\frac{A}{1}=A\)Die waagerechte Koordinate ist der Kosinus.
- \({\color{#c2410c}\sin}(\alpha)=\frac{G}{1}=G\)Die senkrechte Koordinate ist der Sinus. Am Kreis erweitern wir diese Definition auf alle Winkel.
AUSPROBIEREN
Bewege den Punkt von \(0^\circ\) nach \(90^\circ\). Welche Koordinate wird größer? Welche kleiner? Lies die Werte an beiden Endpunkten ab.
Zum Nachlesen: Welche Werte haben Sinus und Kosinus bei \(0^\circ\) und \(90^\circ\)?
Bei \(0^\circ\) liegt der Punkt bei \((1\mid0)\): \({\color{#047857}\cos}(0^\circ)=1\), \({\color{#c2410c}\sin}(0^\circ)=0\).
Bei \(90^\circ\) liegt er bei \((0\mid1)\): \({\color{#047857}\cos}(90^\circ)=0\), \({\color{#c2410c}\sin}(90^\circ)=1\). Dazwischen wächst die senkrechte Koordinate, während die waagerechte abnimmt.
\(03\) / WERTE HERLEITEN
Woher kommt \({\color{#c2410c}\sin}(45^\circ)\)?
Dein Ziel: Du bestimmst wichtige Werte exakt aus zwei einfachen Dreiecken.
Dieses Dreieck kommt direkt aus dem Einheitskreis.
Starte mit dem Kreispunkt \(P\) zum Winkel \({\color{#6366f1}45^\circ}\). Ziehe von \(P\) ein Lot auf die \(x\)-Achse. Sein Fußpunkt heißt \(A\), der Kreismittelpunkt \(O\). Dadurch entsteht das rechtwinklige Dreieck \(OAP\). Du erfindest also keine neuen Seiten: Es sind der Radius und die beiden Koordinaten des Kreispunktes.
Der Radius \(\overline{OP}\) hat Länge \(1\) und bildet mit der positiven \(x\)-Achse den Winkel \({\color{#6366f1}45^\circ}\).
- Den Kreispunkt wählen.Der Radius \(\overline{OP}\) gehört zum Winkel \({\color{#6366f1}45^\circ}\) und hat Länge \(1\).
- Das Lot fallen lassen.\(\overline{OA}\) ist waagerecht, \(\overline{AP}\) senkrecht. Bei \(A\) entsteht der rechte Winkel.
- Die Seiten wiedererkennen.\({\color{#047857}OA}=\cos(45^\circ)\), \({\color{#c2410c}AP}=\sin(45^\circ)\), \(OP=1\). Die beiden spitzen Winkel sind \(45^\circ\), deshalb gilt \(OA=AP=s\).
- Das Dreieck herausnehmen.Beim Verschieben ändern sich weder Winkel noch Seitenlängen. Jetzt kannst du Pythagoras für genau dieses Dreieck verwenden.
ERSTES DREIECK · \(45^\circ\)
Zwei gleiche Katheten.
Ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei Winkeln von \(45^\circ\) ist gleichschenklig. Im Einheitskreis ist seine Hypotenuse \(1\). Beide Katheten nennen wir \(s\).
- \(s^2+s^2=1^2\)Wende den Satz des Pythagoras an.
- \(2s^2=1\)Fasse die beiden gleichen Quadrate zusammen.
- \(s^2=\frac12\)Teile durch zwei.
- \(s=\sqrt{\frac12}=\frac{\sqrt2}{2}\)Ziehe die positive Wurzel, denn \(s\) ist eine Seitenlänge.
- \({\color{#c2410c}\sin}(45^\circ)={\color{#047857}\cos}(45^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}\)Beide Koordinaten sind gleich. Exakt: \(\frac{\sqrt2}{2}\); näherungsweise: \(0{,}7071\). Für den Tangens gilt \(s/s=1\).
ZWEITES DREIECK · \(30^\circ\) UND \(60^\circ\)
Ein gleichseitiges Dreieck halbieren.
Alle Seiten sind \(2\) lang, alle Winkel \(60^\circ\) groß. Die Höhe halbiert die Grundseite und den oberen Winkel. So entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse \(2\), kurzer Kathete \(1\) und Höhe \(h\).
- \(1^2+h^2=2^2\)Pythagoras im halben Dreieck.
- \(h^2=3\Rightarrow h=\sqrt3\)Die Höhe ist eine positive Länge.
- \({\color{#c2410c}\sin}(30^\circ)=\frac12\)Gegenüber \(30^\circ\) liegt die kurze Kathete. Die Hypotenuse ist \(2\).
- \({\color{#047857}\cos}(30^\circ)=\frac{\sqrt3}{2}\)Am Winkel \(30^\circ\) liegt die lange Kathete an.
- \({\color{#c2410c}\sin}(60^\circ)=\frac{\sqrt3}{2}\)Für \(60^\circ\) tauschen die Katheten ihre Rollen. Deshalb gilt auch \({\color{#047857}\cos}(60^\circ)=\frac12\).
Fünf Winkel, die du am Kreis wiedererkennst.
Die Werte bei \(0^\circ\) und \(90^\circ\) liest du direkt an den Achsen ab. Bei \(90^\circ\) ist der Tangens nicht definiert, weil sein Nenner null wäre.
| Winkel | \({\color{#c2410c}\sin}\) | \({\color{#047857}\cos}\) | \({\color{#0369a1}\tan}\) |
|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(30^\circ\) | \(\frac12\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt3}{3}\) |
| \(45^\circ\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(1\) |
| \(60^\circ\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac12\) | \(\sqrt3\) |
| \(90^\circ\) | \(1\) | \(0\) | nicht definiert |
BEGRÜNDEN
Warum sind Sinus und Kosinus bei \(45^\circ\) gleich? Erkläre es mit dem Dreieck und anschließend mit den Koordinaten am Kreis.
Zum Nachlesen: Bestimme \({\color{#0369a1}\tan}(30^\circ)\) ohne Taschenrechner.
Teile Gegenkathete durch Ankathete: \({\color{#0369a1}\tan}(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt3}\). Erweitere mit \(\sqrt3\): \(\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\).
Die Formeln liefern denselben Wert. Eine Dezimalzahl ist dafür nicht nötig.
\(04\) / DEN GANZEN KREIS NUTZEN
Das Vorzeichen kommt vom Ort.
Dein Ziel: Du findest Vorzeichen und Bezugswinkel auch außerhalb des ersten Quadranten.
Koordinaten können negativ sein: Rechts ist der Kosinus positiv, links negativ. Oberhalb der waagerechten Achse ist der Sinus positiv, unterhalb negativ. Seitenlängen im Dreieck bleiben positiv; erst die Kreisposition bestimmt das Vorzeichen.
Die vier Viertel des Kreises.
| Quadrant | Winkelbereich | \({\color{#047857}\cos}\) | \({\color{#c2410c}\sin}\) | \({\color{#0369a1}\tan}\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\mathrm{I}\) · rechts oben | \(0^\circ<\alpha<90^\circ\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(\mathrm{II}\) · links oben | \(90^\circ<\alpha<180^\circ\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
| \(\mathrm{III}\) · links unten | \(180^\circ<\alpha<270^\circ\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(\mathrm{IV}\) · rechts unten | \(270^\circ<\alpha<360^\circ\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
Auf den Achsen gelten die direkt ablesbaren Werte. Tangens ist bei \(90^\circ\) und \(270^\circ\) nicht definiert.
BEISPIEL · \(135^\circ\)
Bekannte Länge, passendes Vorzeichen.
Der Bezugswinkel ist der spitze Winkel zwischen dem Radius und der waagerechten Achse. Er hilft dir, ein bekanntes Dreieck wiederzufinden.
- \(135^\circ\) liegt im \(\mathrm{II}\). Quadranten.Der Punkt ist links oben: Kosinus negativ, Sinus positiv.
- \(180^\circ-135^\circ=45^\circ\)Das Dreieck hat denselben Bezugswinkel wie bei \(45^\circ\).
- \({\color{#c2410c}\sin}(135^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}\)Die senkrechte Koordinate bleibt positiv.
- \({\color{#047857}\cos}(135^\circ)=-\frac{\sqrt2}{2}\)Die waagerechte Koordinate ist negativ. Ihr Quotient ergibt \({\color{#0369a1}\tan}(135^\circ)=-1\).
Gleicher Punkt nach \(360^\circ\).
\(405^\circ=360^\circ+45^\circ\)
Nach einer vollen Runde bist du am selben Ort. Daher gelten \({\color{#c2410c}\sin}(405^\circ)={\color{#c2410c}\sin}(45^\circ)\) und \({\color{#047857}\cos}(405^\circ)={\color{#047857}\cos}(45^\circ)\).
Im Uhrzeigersinn drehen.
\(-45^\circ\) liegt rechts unten.
Damit ist \({\color{#c2410c}\sin}(-45^\circ)=-\frac{\sqrt2}{2}\) und \({\color{#047857}\cos}(-45^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}\). \(-45^\circ\) und \(315^\circ\) führen zum selben Punkt.
AUSPROBIEREN
Gehe zum Kreis zurück. Vergleiche \(45^\circ\), \(135^\circ\), \(225^\circ\) und \(315^\circ\). Die Beträge der Koordinaten bleiben gleich. Was verändert sich?
Zum Nachlesen: Bestimme Sinus und Kosinus von \(225^\circ\).
Der Punkt liegt links unten. Sein Bezugswinkel ist \(225^\circ-180^\circ=45^\circ\).
Beide Werte sind negativ: \({\color{#c2410c}\sin}(225^\circ)=-\frac{\sqrt2}{2}\), \({\color{#047857}\cos}(225^\circ)=-\frac{\sqrt2}{2}\). Der Tangens ist positiv und gleich \(1\).
\(05\) / EINE ZWEITE WINKELEINHEIT
Von Grad zu Radiant.
Dein Ziel: Du übersetzt zwischen Gradmaß und Bogenmaß und wählst den passenden Rechnermodus.
DIE DEFINITION
\(\alpha_{\mathrm{rad}}=\frac{s}{r}\)
Im Bogenmaß vergleichst du die Länge des Kreisbogens \(s\) mit dem Radius \(r\). Auf dem Einheitskreis ist \(r=1\): Die Bogenlänge ist dann direkt die Winkelzahl. Die Einheit heißt Radiant (\(\mathrm{rad}\)).
BEISPIEL · \(45^\circ\) UMRECHNEN
Der gleiche Anteil einer Runde.
Du änderst nur die Einheit. Der Winkel und sein Kreispunkt bleiben gleich.
- \(\alpha_{\mathrm{rad}}=\alpha_{\mathrm{Grad}}\cdot\frac{\pi}{180}\)Von Grad zu Bogenmaß: mit \(\pi/180\) multiplizieren.
- \(45\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{4}\)\(45/180\) ist ein Viertel.
- \({\color{#c2410c}\sin}(45^\circ)={\color{#c2410c}\sin}\left(\frac{\pi}{4}\right)\)In der anderen Richtung multiplizierst du mit \(180/\pi\).
Die bekannten Winkel im Bogenmaß.
| Grad | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) | \(180^\circ\) | \(360^\circ\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Bogenmaß | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(2\pi\) |
EINHEITEN-WERKZEUG
Erst selbst rechnen, dann vergleichen.
\(180^\circ=\pi\,\mathrm{rad}\)
DEG oder RAD? Für \({\color{#c2410c}\sin}(30^\circ)\) wählst du am Taschenrechner DEG. Für \({\color{#c2410c}\sin}(\pi/6)\) wählst du RAD. Beide ergeben \(\frac12\). Wenn dein Rechner etwas anderes zeigt, prüfe zuerst die Einheit.
VERGLEICHEN
Rechne \(90^\circ\), \(150^\circ\) und \(270^\circ\) selbst um. Kontrolliere anschließend im Werkzeug.
Zum Nachlesen: Welches Bogenmaß gehört zu \(150^\circ\)?
\(150\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}\). Zur Probe: \(\frac{5\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi}=150\).
Der Winkel liegt im zweiten Quadranten. \({\color{#c2410c}\sin}(5\pi/6)=\frac12\).
\(06\) / AUS BEWEGUNG WIRD EIN GRAPH
Die Kreisbewegung hinterlässt eine Welle.
Dein Ziel: Du verbindest einen Winkel am Kreis mit einem Punkt im Funktionsgraphen.
Kreis und Graph gleichzeitig verfolgen.
Hier ist die waagerechte Graphenachse noch in Grad beschriftet. Jeder Eingang ist ein Drehwinkel; der Funktionswert ist eine Koordinate des Kreispunktes.
\(f(\alpha)={\color{#c2410c}\sin}({\color{#6366f1}\alpha})\)
DIE SINUSWELLE AUFBAUEN
Ein Eingang, ein Ausgang.
Der Eingang ist jetzt der Winkel. Der Ausgang ist bei Sinus die Höhe des Kreispunktes.
- \(0^\circ\mapsto0\)Der Kreispunkt liegt rechts auf der waagerechten Achse. Markiere im Graphen \((0\mid0)\).
- \(90^\circ\mapsto1\)Ganz oben ist die Höhe eins. Im Graphen liegt der Punkt bei \((90\mid1)\).
- \(180^\circ\mapsto0\)Links auf der Achse ist die Höhe wieder null.
- \(270^\circ\mapsto-1\)Ganz unten ist die Höhe minus eins.
- \(360^\circ\mapsto0\)Nach einer Runde beginnt derselbe Verlauf erneut. Zwischen den markanten Punkten verläuft der Graph glatt.
Die Stützpunkte einer Umdrehung.
| Winkel in Grad | Bogenmaß | Funktionswert |
|---|
AUSPROBIEREN
Wähle zuerst Sinus, dann Kosinus. Vergleiche jeweils die Werte bei \(0^\circ\), \(90^\circ\), \(180^\circ\) und \(270^\circ\). Warum startet der Kosinus oben im Graphen?
Zum Nachlesen: Was wird beim Kosinus übertragen?
Beim Kosinus überträgst du die waagerechte Koordinate. Sie ist am Startpunkt \((1\mid0)\) gleich \(1\).
Die Folge bei \(0^\circ\), \(90^\circ\), \(180^\circ\), \(270^\circ\), \(360^\circ\) lautet daher \(1,0,-1,0,1\). Beim Sinus lautet sie \(0,1,0,-1,0\).
\(07\) / DIE GRUNDFUNKTIONEN BESCHREIBEN
Was wiederholt sich? Was bleibt begrenzt?
Dein Ziel: Du beschreibst Definitionsbereich, Wertebereich, Periode und besondere Punkte von Sinus und Kosinus.
Ab hier gilt Bogenmaß: In \(f(x)={\color{#c2410c}\sin} x\) und \(g(x)={\color{#047857}\cos} x\) ist \(x\) eine Winkelzahl in Radiant. Eine volle Umdrehung entspricht \(2\pi\). Achte beim Lesen der Graphen auf die Beschriftungen mit \(\pi\).
Jeder Drehwinkel ist erlaubt.
\(D=\mathbb R\)
Du kannst vorwärts oder rückwärts und beliebig oft drehen. Sinus und Kosinus besitzen für jede reelle Winkelzahl einen Wert.
Der Kreis setzt Grenzen.
\(W=[-1;1]\)
Keine Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis ist größer als \(1\) oder kleiner als \(-1\).
Eine ganze Runde.
\(T=2\pi\)
Es gilt \({\color{#c2410c}\sin}(x+2\pi)={\color{#c2410c}\sin} x\) und \({\color{#047857}\cos}(x+2\pi)={\color{#047857}\cos} x\). \(2\pi\) ist die kleinste positive Periode beider Grundfunktionen.
Besondere Stellen im Bogenmaß.
In allen Zeilen ist \(k\in\mathbb Z\): \(k\) kann eine beliebige ganze Zahl sein. Damit beschreiben die Formeln sämtliche Umdrehungen.
| Eigenschaft | \(f(x)={\color{#c2410c}\sin} x\) | \(g(x)={\color{#047857}\cos} x\) |
|---|---|---|
| Nullstellen | \(x=k\pi\) | \(x=\frac\pi2+k\pi\) |
| Maximum \(1\) | \(x=\frac\pi2+2k\pi\) | \(x=2k\pi\) |
| Minimum \(-1\) | \(x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\) | \(x=\pi+2k\pi\) |
Die Formeln nennen die \(x\)-Stellen. Ein Hochpunkt des Sinus ist zum Beispiel \(H(\frac\pi2\mid1)\).
Sinus und Kosinus vergleichen: Es gilt \({\color{#047857}\cos} x={\color{#c2410c}\sin}(x+\pi/2)\). Der Kosinusgraph hat dieselbe Form wie der Sinusgraph, um eine Viertelperiode nach links verschoben. Bei \(x=0\) startet Sinus mit \(0\), Kosinus mit \(1\). Vergleiche beide im Werkzeug der vorherigen Station.
NULLSTELLEN VERSTEHEN
Warum steht beim Sinus \(k\pi\)?
Eine Nullstelle bedeutet: Die senkrechte Koordinate des Kreispunktes ist null.
- \({\color{#c2410c}\sin}(0)=0\)Der Punkt liegt rechts auf der waagerechten Achse.
- \({\color{#c2410c}\sin}(\pi)=0\)Nach einer halben Runde liegt er links auf derselben Achse.
- \(x=\ldots,-\pi,0,\pi,2\pi,\ldots\)Jede weitere halbe Runde liefert eine Nullstelle. Dafür schreiben wir \(x=k\pi\).
VERGLEICHEN
Beim Sinus liegen Nullstellen eine halbe Runde auseinander, trotzdem ist seine Periode eine ganze Runde. Vergleiche \({\color{#c2410c}\sin}(\pi/2)\) und \({\color{#c2410c}\sin}(3\pi/2)\): Warum reicht \(\pi\) als Periode nicht aus?
Zum Nachlesen: Ist \(\pi\) eine Periode des Sinus?
Nein. Eine Periode muss für jeden Eingang denselben Wert erzeugen.
Zum Beispiel ist \({\color{#c2410c}\sin}(\pi/2)=1\), aber \({\color{#c2410c}\sin}(\pi/2+\pi)=-1\). Erst nach \(2\pi\) ist die ganze Welle wieder gleich.
Die Symmetrien passen zum Kreis: \({\color{#c2410c}\sin}(-x)=-{\color{#c2410c}\sin} x\) und \({\color{#047857}\cos}(-x)={\color{#047857}\cos} x\).
\(08\) / DEN QUOTIENTEN UNTERSUCHEN
Tangens hat Lücken.
Dein Ziel: Du erklärst, warum der Tangens nicht überall definiert und nicht auf \([-1;1]\) begrenzt ist.
DIE VERBINDUNG ZUM KREIS
\({\color{#0369a1}\tan} x=\frac{{\color{#c2410c}\sin} x}{{\color{#047857}\cos} x}\)
Diese Gleichung gilt nur, wenn \({\color{#047857}\cos} x\ne0\). Im ersten Dreieck war derselbe Quotient \(G/A\).
\(y={\color{#0369a1}\tan} x\)
Nahe einer ausgeschlossenen Stelle werden die Werte sehr groß oder sehr klein. Der Graph springt nicht über die Lücke.
EINEN WERT BERECHNEN
Tangens bei \(\pi/4\).
Die bekannten Sinus- und Kosinuswerte liefern den Tangens sofort.
- \({\color{#c2410c}\sin}(\pi/4)={\color{#047857}\cos}(\pi/4)=\frac{\sqrt2}{2}\)Beide Koordinaten sind gleich groß und positiv.
- \({\color{#0369a1}\tan}(\pi/4)=\frac{\sqrt2/2}{\sqrt2/2}=1\)Teile die senkrechte durch die waagerechte Koordinate.
- \({\color{#0369a1}\tan}(5\pi/4)=1\)Nach einer halben Runde wechseln beide Vorzeichen. Ihr Quotient bleibt gleich. Deshalb hat Tangens die kleinste positive Periode \(T=\pi\).
Die Nennernullstellen fehlen.
\(D=\mathbb R\setminus\{\tfrac\pi2+k\pi\mid k\in\mathbb Z\}\)
Die Stellen \(\pi/2\), \(3\pi/2\), \(-\pi/2\) und alle weiteren dieser Form sind ausgeschlossen.
Jeder reelle Wert kommt vor.
\(W=\mathbb R\)
Ein Quotient zweier Koordinaten kann im Betrag größer als eins werden. Ein kleiner Nenner kann einen großen Quotienten ergeben.
Der Zähler wird null.
\(x=k\pi\)
Dort ist \({\color{#c2410c}\sin} x=0\), während \({\color{#047857}\cos} x\) gleich \(1\) oder \(-1\) ist. Der Quotient ist also erlaubt und gleich null.
BEOBACHTEN
Stelle im Kreis \(60^\circ\), \(80^\circ\) und \(89^\circ\) ein. Beobachte den Kosinus im Nenner und den Tangenswert. Was passiert bei genau \(90^\circ\)?
Zum Nachlesen: Ist \({\color{#0369a1}\tan}(\pi/2)\) gleich unendlich?
Der Funktionswert ist nicht definiert. „Unendlich“ ist hier kein einzusetzender Zahlenwert.
Von links werden die Tangenswerte beliebig groß, von rechts beliebig stark negativ. An der Stelle selbst wäre der Nenner null.
\(09\) / ZUERST NUR DIE HÖHE ÄNDERN
Amplitude und Mittellinie.
Dein Ziel: Du unterscheidest die Wirkung von \(a\) und \(d\) in \(f(x)=a{\color{#c2410c}\sin} x+d\).
\({\color{#4f46e5}a}\) · Amplitude\({\color{#0369a1}b}\) · Tempo des inneren Winkels\({\color{#c2410c}c}\) · Verschiebung nach rechts oder links\({\color{#7c3aed}d}\) · Mittellinie
\(a\)
Die Ausschläge verändern.
Nur \(a\) bewegen, \(d=0\) bleibt fest.
Grundfunktion: \({\color{#c2410c}\sin} x\) · Achse im Bogenmaß
\(f(x)={\color{#4f46e5}{1}}\sin x\)
Amplitude \(1\): Die Ausschläge reichen von \(-1\) bis \(1\).
Die Amplitude ist \(\lvert a\rvert\): der Abstand von der Mittellinie bis zum höchsten oder tiefsten Wert. Bei \(a<0\) wird die Welle zusätzlich an der waagerechten Achse gespiegelt.
AUSPROBIEREN
Vergleiche \(a=2\), \(a=\frac12\) und \(a=-2\). Welche Werte bleiben Nullstellen?
\(d\)
Die ganze Welle verschieben.
Nur \(d\) bewegen, \(a=1\) bleibt fest.
Grundfunktion: \({\color{#c2410c}\sin} x\) · Achse im Bogenmaß
\(f(x)=\sin x+{\color{#7c3aed}{0}}\)
Mittellinie \(y=0\): Die Amplitude bleibt \(1\).
Die Mittellinie lautet \(y=d\). Für \(d>0\) wandert die Welle nach oben, für \(d<0\) nach unten. Die Amplitude bleibt dabei gleich.
AUSPROBIEREN
Stelle \(d=2\) ein. Zwischen welchen Höhen verläuft die Welle? Kann sie noch eine Nullstelle haben?
BEISPIEL · \(f(x)=-2{\color{#c2410c}\sin} x+1\)
Die Höhen zuerst bestimmen.
Rechne in zwei kleinen Schritten: erst multiplizieren, dann verschieben.
- \(-1\le{\color{#c2410c}\sin} x\le1\)Die Grundfunktion liefert Werte zwischen minus eins und eins.
- \(-2\le-2{\color{#c2410c}\sin} x\le2\)Die Amplitude wird \(2\). Das Minus vertauscht hohe und tiefe Stellen.
- \(-1\le-2{\color{#c2410c}\sin} x+1\le3\)Addiere eins zu allen Höhen.
- \(A=2,\quad y=1,\quad W=[-1;3]\)Amplitude zwei, Mittellinie eins. Die Periode bleibt \(2\pi\).
Allgemein: Für \(a{\color{#c2410c}\sin} x+d\) liegen die Werte zwischen \(d-\lvert a\rvert\) und \(d+\lvert a\rvert\). Bei \(a=0\) entsteht die konstante Funktion \(f(x)=d\): keine Welle, Amplitude null und Wertebereich \(\{d\}\).
Zum Nachlesen: Welche Amplitude und welchen Wertebereich hat \(3{\color{#c2410c}\sin} x-2\)?
Die Amplitude ist \(3\), die Mittellinie \(y=-2\).
Der kleinste Wert ist \(-2-3=-5\), der größte \(-2+3=1\). Also gilt \(W=[-5;1]\).
\(10\) / DANN DIE WAAGERECHTE RICHTUNG ÄNDERN
Wie breit ist die Welle? Wo startet sie?
Dein Ziel: Du liest Periode und waagerechte Verschiebung in \(a{\color{#c2410c}\sin}(b(x-c))+d\) ab.
\(b\)
Die Periode verändern.
Nur \(b\) bewegen, \(a=1,c=d=0\).
Vergleich: \({\color{#c2410c}\sin} x\) · Achse im Bogenmaß
\(f(x)=\sin\bigl({\color{#0369a1}{1}}x\bigr)\)
Periode \(T=2\pi\): Der innere Winkel läuft unverändert schnell.
Der innere Winkel \(bx\) läuft \(b\)-mal so schnell. Für \(b=2\) passt eine volle Welle schon in die Strecke \(\pi\).
\(T=\frac{2\pi}{b}\)
AUSPROBIEREN
Vergleiche \(b=\frac12\), \(1\) und \(2\). Welche Welle ist am breitesten?
\(c\)
Die Welle seitlich verschieben.
Nur \(c\) bewegen, \(a=b=1,d=0\).
Vergleich: \({\color{#c2410c}\sin} x\) · Form: \({\color{#c2410c}\sin}(x-c)\)
\(f(x)=\sin\bigl(x-{\color{#c2410c}{0}}\bigr)\)
Verschiebung \(c=0\): Die Grundfunktion bleibt an derselben Stelle.
In der Form \({\color{#c2410c}\sin}(x-c)\) verschiebt \(c>0\) nach rechts und \(c<0\) nach links. Bei \(x=c\) wird das Argument null.
AUSPROBIEREN
Stelle \(c=\pi/2\) ein. Wo liegt die Nullstelle, an der die Welle ansteigt?
DIE VIER PARAMETER ZUSAMMEN
\(f(x)={\color{#4f46e5}a}\sin\bigl({\color{#0369a1}b}(x-{\color{#c2410c}c})\bigr)+{\color{#7c3aed}d}\)
Hier verwenden wir \(b>0\). Bei \(a\ne0\): Amplitude \(\lvert a\rvert\), kleinste positive Periode \(2\pi/b\), Mittellinie \(y=d\), waagerechte Verschiebung \(c\).
EIN BEISPIEL IN VIER SCHRITTEN
\(f(x)=2{\color{#c2410c}\sin}\bigl(2(x-\pi/4)\bigr)+1\)
Lies einen Parameter nach dem anderen. Die \(x\)-Achse ist weiterhin im Bogenmaß.
- \({\color{#4f46e5}a=2}\Rightarrow {\color{#4f46e5}A=2}\)Die Ausschläge sind doppelt so hoch wie bei der Grundfunktion.
- \({\color{#0369a1}b=2}\Rightarrow T=\frac{2\pi}{{\color{#0369a1}2}}=\pi\)Die Welle ist halb so breit.
- \({\color{#c2410c}c=\frac\pi4}\)Verschiebe diese Welle um \(\pi/4\) nach rechts.
- \({\color{#7c3aed}d=1}\Rightarrow W=[-1;3]\)Verschiebe alles um eins nach oben. Die Mittellinie ist \(y=1\).
- \(f(\pi/4)=1\)Probe am verschobenen Start: Das innere Argument ist null. Hier kreuzt die Welle ihre Mittellinie nach oben.
WELLEN-LABOR
Jetzt kombinieren.
Stelle das Beispiel von oben ein. Ändere anschließend jeweils nur einen Regler und beschreibe seine Wirkung.
\(f(x)=2{\color{#c2410c}\sin} x+1\)
Amplitude \(2\), Periode \(2\pi\), Mittellinie \(y=1\), Wertebereich \([-1;3]\).
Die gestrichelte Mittellinie hilft dir, die Amplitude abzulesen. Der Abstand zwischen gleichen Wellenstellen ist die Periode.
Sonderfall \(a=0\): Dann bleibt \(f(x)=d\) konstant. Es gibt keine kleinste positive Periode: Jede positive Verschiebung lässt den konstanten Graphen unverändert. Die Formel \(2\pi/b\) beschreibt die kleinste positive Periode nur bei einer echten Welle mit \(a\ne0\).
Zum Nachlesen: Was bedeuten die Parameter in \({\color{#c2410c}\sin}(2(x+\pi/4))-1\)?
\(a=1\), \(b=2\), \(c=-\pi/4\), \(d=-1\). Die Amplitude ist \(1\), die Periode \(\pi\).
Die Welle ist um \(\pi/4\) nach links und um \(1\) nach unten verschoben. Ihre Mittellinie ist \(y=-1\), ihr Wertebereich \([-2;0]\).
\(11\) / ALLE PASSENDEN WINKEL FINDEN
Ein Wert kann zu mehreren Winkeln gehören.
Dein Ziel: Du löst einfache trigonometrische Gleichungen in einem vorgegebenen Intervall vollständig.
START · \({\color{#c2410c}\sin} x=\frac12\)
Eine Höhe, zwei Kreispunkte.
Gesucht sind zunächst die Winkel im Gradintervall \([0^\circ;360^\circ)\). Die eckige Klammer schließt \(0^\circ\) ein; die runde Klammer schließt \(360^\circ\) aus.
- \({\color{#c2410c}\sin}(30^\circ)=\frac12\)Den ersten Winkel kennst du aus dem halbierten gleichseitigen Dreieck.
- \(180^\circ-30^\circ=150^\circ\)Die gleiche positive Höhe kommt links oben ein zweites Mal vor.
- \(x=30^\circ\ \text{oder}\ x=150^\circ\)Beide liegen im geforderten Intervall. Unterhalb der Achse wäre der Sinus negativ.
Dieselbe Lösung in zwei Einheiten.
| Einheit | Gesuchtes Intervall | Erste Lösung | Zweite Lösung |
|---|---|---|---|
| Grad | \([0^\circ;360^\circ)\) | \(30^\circ\) | \(150^\circ\) |
| Bogenmaß | \([0;2\pi)\) | \(\pi/6\) | \(5\pi/6\) |
Für alle reellen Winkel im Bogenmaß gilt: \(x=\pi/6+2k\pi\) oder \(x=5\pi/6+2k\pi\), jeweils \(k\in\mathbb Z\). Der Taschenrechner liefert mit der Umkehrfunktion meist nur einen Hauptwert; der Kreis zeigt die weitere Lösung.
KOSINUS · \({\color{#047857}\cos} x=-\frac12\)
Eine waagerechte Koordinate.
Gesucht: \(x\in[0;2\pi)\). Ein negativer Kosinus führt auf die linke Kreishälfte.
- \({\color{#047857}\cos}(\pi/3)=\frac12\)Der Bezugswinkel ist \(\pi/3\), also \(60^\circ\).
- \(x_1=\pi-\frac\pi3=\frac{2\pi}{3}\)Der erste Punkt liegt links oben.
- \(x_2=\pi+\frac\pi3=\frac{4\pi}{3}\)Der zweite Punkt liegt links unten. Beide haben dieselbe waagerechte Koordinate \(-1/2\).
AUFBAU · \(2{\color{#c2410c}\sin}(2x)-1=0\)
Den inneren Winkel zuerst lösen.
Gesucht: \(x\in[0;2\pi)\). Der Winkel in der Sinusfunktion ist \(2x\). Er durchläuft in diesem Intervall zwei volle Runden.
Setze \(u=2x\). Dann gilt \(u\in[0;4\pi)\). Dieses größere Intervall erklärt die vier Lösungen.
- \({\color{#c2410c}\sin}(2x)=\frac12\)Addiere eins und teile durch zwei.
- \({\color{#c2410c}\sin} u=\frac12\)Suche zunächst alle passenden inneren Winkel \(u\).
- \(u=\frac\pi6,\ \frac{5\pi}{6}\)Die beiden Lösungen in der ersten Runde.
- \(u=\frac{13\pi}{6},\ \frac{17\pi}{6}\)Addiere zu beiden \(2\pi\). Diese zwei weiteren Lösungen liegen ebenfalls in \([0;4\pi)\).
- \(x=\frac{u}{2}\)Teile jeden der vier inneren Winkel durch zwei.
- \(x=\frac\pi{12},\ \frac{5\pi}{12},\ \frac{13\pi}{12},\ \frac{17\pi}{12}\)Alle vier liegen in \([0;2\pi)\). Probe etwa mit \(x=13\pi/12\): \({\color{#c2410c}\sin}(2x)={\color{#c2410c}\sin}(13\pi/6)\). Dieser Wert ist \(1/2\).
BEGRÜNDEN
Warum fehlen zwei Lösungen, wenn du in der letzten Aufgabe nur \(\pi/6\) und \(5\pi/6\) durch zwei teilst? Beschreibe, wie viele Umdrehungen der innere Winkel macht.
Zum Nachlesen: Löse \({\color{#c2410c}\sin} x=0\) in \([0;2\pi)\).
Die Lösungen sind \(x=0\) und \(x=\pi\).
Auch \({\color{#c2410c}\sin}(2\pi)=0\), aber \(2\pi\) gehört wegen der runden rechten Klammer nicht zum Intervall. Das Intervall ist ein Teil der Aufgabe und muss am Ende geprüft werden.
\(12\) / SELBST RECHNEN UND ANWENDEN
Vom Kreis zum eigenen Rechenweg.
Dein Ziel: Du wählst passende Verfahren, begründest deine Lösungen und prüfst ein Modell im Sachzusammenhang.
Grundlagen: Seiten zuordnen, Kreiswerte bestimmen und Einheiten umrechnen. Aufbau: Graphen beschreiben, Parameter verstehen und Gleichungen lösen. Transfer: mehrere Schritte verbinden und ein Modell begründen.
Aufgaben aus allen Stufen.
Gib Zahlen mit Dezimalkomma oder Punkt ein. Brüche und Ausdrücke wie \(\mathtt{sqrt(2)/2}\) oder \(\mathtt{pi/6}\) sind möglich. Winkelantworten als Zahl ohne Gradzeichen oder Einheit eingeben; die Aufgabe nennt die benötigte Einheit. Bei Näherungswerten mindestens drei Nachkommastellen verwenden. Erkläre deinen Rechenweg zusätzlich auf Papier.
Dein Lernfortschritt wird in diesem Browser gespeichert.
Sinus, Kosinus und Tangens am Dreieck.
GEGEBEN
Ein rechtwinkliges Dreieck hat zum betrachteten spitzen Winkel \(\alpha\) die Gegenkathete \(3\), die Ankathete \(4\) und die Hypotenuse \(5\).
DEIN AUFTRAG
Bestimme \({\color{#c2410c}\sin}(\alpha)\), \({\color{#047857}\cos}(\alpha)\) und \({\color{#0369a1}\tan}(\alpha)\). Gib die Ergebnisse als Bruch oder Dezimalzahl ein.
Hinweis: die richtige Seite zuordnen
Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Gegen- und Ankathete werden immer vom betrachteten Winkel \(\alpha\) aus benannt.
Weiterer Hinweis: die drei Verhältnisse
Nutze \({\color{#c2410c}\sin}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\), \({\color{#047857}\cos}=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\) und \({\color{#0369a1}\tan}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\).
Lösungsweg anzeigen
SCHRITT FÜR SCHRITT
\(1\) · Seiten vom Winkel aus zuordnen
Zur Ecke \(\alpha\) gilt: Gegenkathete \(g=3\), Ankathete \(a=4\), Hypotenuse \(h=5\). Kontrolliere: \(3^2+4^2=9+16=25=5^2\).
\(2\) · Die drei Verhältnisse bilden
\(\begin{aligned}{\color{#c2410c}\sin}(\alpha)&=\frac{g}{h}=\frac{3}{5}=0{,}6\\{\color{#047857}\cos}(\alpha)&=\frac{a}{h}=\frac{4}{5}=0{,}8\\{\color{#0369a1}\tan}(\alpha)&=\frac{g}{a}=\frac{3}{4}=0{,}75\end{aligned}\)
\(3\) · Das Ergebnis prüfen
Sinus und Kosinus des spitzen Winkels liegen zwischen \(0\) und \(1\). Außerdem gilt \({\color{#0369a1}\tan}(\alpha)=\frac{{\color{#c2410c}\sin}(\alpha)}{{\color{#047857}\cos}(\alpha)}=\frac{0{,}6}{0{,}8}=0{,}75\).
Darauf achten: Die Ankathete ist nicht „immer die untere Seite“. Ihre Zuordnung hängt davon ab, welcher Winkel betrachtet wird.
Warum ist \({\color{#c2410c}\sin}(45^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}\)?
GEGEBEN
Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck hat die beiden Kathetenlängen \(1\). Die beiden spitzen Winkel sind jeweils \(45^\circ\).
DEIN AUFTRAG
Berechne zuerst die Hypotenuse. Bestimme daraus \({\color{#c2410c}\sin}(45^\circ)\) und \({\color{#047857}\cos}(45^\circ)\), ohne eine Trigonometrie-Taste zu verwenden. Exakte Eingaben wie \(\mathtt{sqrt(2)/2}\) sind erlaubt; sonst runde auf drei Nachkommastellen.
Hinweis: zuerst Pythagoras
Für die Hypotenuse \(h\) gilt \(h^2=1^2+1^2\). Ziehe die positive Wurzel.
Weiterer Hinweis: beide Katheten sind gleich
Gegen- und Ankathete sind zu jedem der beiden \(45^\circ\)-Winkel gleich lang. Beide Verhältnisse lauten deshalb \(\frac{1}{\sqrt2}\).
Lösungsweg anzeigen
SCHRITT FÜR SCHRITT
\(1\) · Die Hypotenuse berechnen
\(\begin{aligned}h^2&=1^2+1^2=2\\h&=\sqrt2\end{aligned}\)
Eine Seitenlänge ist positiv. Deshalb verwenden wir die positive Wurzel.
\(2\) · Die Seitenverhältnisse einsetzen
\(\begin{aligned}{\color{#c2410c}\sin}(45^\circ)&=\frac{1}{\sqrt2}\\{\color{#047857}\cos}(45^\circ)&=\frac{1}{\sqrt2}\end{aligned}\)
\(3\) · Den Nenner umformen
\(\frac{1}{\sqrt2}=\frac{1\cdot\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\)
Somit sind beide Werte exakt \(\frac{\sqrt2}{2}\). Auf drei Nachkommastellen: \(0{,}707\).
Darauf achten: \(\sqrt2\) ist die Hypotenuse. Der Sinuswert ist das Verhältnis \(1/\sqrt2\), nicht die Hypotenuse selbst.
Die Werte für \(30^\circ\) und \(60^\circ\) herleiten.
GEGEBEN
Ein gleichseitiges Dreieck hat Seitenlänge \(2\). Seine Höhe halbiert die Grundseite und teilt den Winkel an der Spitze in zwei \(30^\circ\)-Winkel. In jeder Hälfte liegt ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse \(2\) und kurzer Kathete \(1\).
DEIN AUFTRAG
Berechne die Höhe und bestimme \({\color{#c2410c}\sin}(30^\circ)\), \({\color{#047857}\cos}(30^\circ)\), \({\color{#c2410c}\sin}(60^\circ)\) und \({\color{#047857}\cos}(60^\circ)\). Du darfst \(\mathtt{sqrt(3)}\) verwenden oder auf drei Nachkommastellen runden.
Hinweis: die fehlende Kathete berechnen
Für die Höhe \(h\) gilt \(h^2+1^2=2^2\). Die Höhe ist die lange Kathete.
Weiterer Hinweis: der betrachtete Winkel wechselt
Zum Winkel \(30^\circ\) ist die kurze Seite die Gegenkathete. Zum Winkel \(60^\circ\) ist die lange Seite die Gegenkathete. Die Hypotenuse bleibt \(2\).
Lösungsweg anzeigen
SCHRITT FÜR SCHRITT
\(1\) · Die Höhe mit Pythagoras bestimmen
\(\begin{aligned}h^2+1&=4\\h^2&=3\\h&=\sqrt3\end{aligned}\)
\(2\) · Den \(30^\circ\)-Winkel betrachten
Zur Spitze mit \(30^\circ\) ist die Gegenkathete \(1\) und die Ankathete \(\sqrt3\).
\(\begin{aligned}{\color{#c2410c}\sin}(30^\circ)&=\frac12\\{\color{#047857}\cos}(30^\circ)&=\frac{\sqrt3}{2}\end{aligned}\)
\(3\) · Den \(60^\circ\)-Winkel betrachten
Jetzt tauschen Gegen- und Ankathete ihre Rollen.
\(\begin{aligned}{\color{#c2410c}\sin}(60^\circ)&=\frac{\sqrt3}{2}\\{\color{#047857}\cos}(60^\circ)&=\frac12\end{aligned}\)
\(\sqrt3\approx1{,}732\) und \(\frac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866\).
Darauf achten: Beim Wechsel von \(30^\circ\) zu \(60^\circ\) wechseln die Namen der Katheten. Die Seiten selbst verändern sich nicht.
Zwei Punkte am Einheitskreis ablesen.
GEGEBEN
Der Einheitskreis hat Mittelpunkt \(O(0\mid0)\) und Radius \(1\). Winkel beginnen auf der positiven \(x\)-Achse und werden gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Für den Kreispunkt gilt \(P(\alpha)=({\color{#047857}\cos}\alpha\mid{\color{#c2410c}\sin}\alpha)\).
DEIN AUFTRAG
Bestimme die \(x\)- und \(y\)-Koordinate der Punkte zu \(90^\circ\) und \(180^\circ\).
Hinweis: eine Viertel- und eine halbe Drehung
Bei \(90^\circ\) bist du oben auf der \(y\)-Achse. Bei \(180^\circ\) bist du links auf der \(x\)-Achse.
Weiterer Hinweis: Radius \(1\) verwenden
Die äußeren Achsenpunkte sind \((1\mid0)\), \((0\mid1)\), \((-1\mid0)\) und \((0\mid-1)\). Ordne die beiden gesuchten Winkel zu.
Lösungsweg anzeigen
SCHRITT FÜR SCHRITT
\(1\) · Bei \(0^\circ\) starten
Der Startpunkt ist \(P(0^\circ)=(1\mid0)\). Der Kreisradius beträgt \(1\).
\(2\) · Eine Vierteldrehung ausführen
Nach \(90^\circ\) liegt der Punkt oben: \(P(90^\circ)=(0\mid1)\). Daraus folgen \({\color{#047857}\cos}(90^\circ)=0\) und \({\color{#c2410c}\sin}(90^\circ)=1\).
\(3\) · Eine halbe Drehung ausführen
Nach \(180^\circ\) liegt der Punkt links: \(P(180^\circ)=(-1\mid0)\). Daraus folgen \({\color{#047857}\cos}(180^\circ)=-1\) und \({\color{#c2410c}\sin}(180^\circ)=0\).
Darauf achten: Die Reihenfolge lautet \(({\color{#047857}\cos}\alpha\mid{\color{#c2410c}\sin}\alpha)\): Kosinus ist die waagerechte, Sinus die senkrechte Koordinate.
Ein \(45^\circ\)-Winkel im zweiten Quadranten.
GEGEBEN
Es gilt \(135^\circ=180^\circ-45^\circ\). Am Einheitskreis hat der Punkt zum Winkel \(45^\circ\) die Koordinaten \((\frac{\sqrt2}{2}\mid\frac{\sqrt2}{2})\).
DEIN AUFTRAG
Bestimme \({\color{#c2410c}\sin}(135^\circ)\) und \({\color{#047857}\cos}(135^\circ)\). Begründe die Vorzeichen über die Lage des Punkts. Exakte Eingabe oder Rundung auf drei Nachkommastellen ist möglich.
Hinweis: den Quadranten bestimmen
\(135^\circ\) liegt zwischen \(90^\circ\) und \(180^\circ\): links oben im zweiten Quadranten.
Weiterer Hinweis: an der \(y\)-Achse spiegeln
Der Punkt zum Winkel \(135^\circ\) ist das Spiegelbild des Punkts zu \(45^\circ\) an der \(y\)-Achse. Nur die \(x\)-Koordinate wechselt das Vorzeichen.
Lösungsweg anzeigen
SCHRITT FÜR SCHRITT
\(1\) · Den Bezugswinkel finden
Die Entfernung zur negativen \(x\)-Achse beträgt \(180^\circ-135^\circ=45^\circ\). Deshalb haben die Koordinaten dieselben Beträge wie bei \(45^\circ\).
\(2\) · Die Vorzeichen aus der Lage lesen
Im zweiten Quadranten ist \(x<0\) und \(y>0\). Also lautet der Kreispunkt \(P(135^\circ)=(-\frac{\sqrt2}{2}\mid\frac{\sqrt2}{2})\).
\(3\) · Sinus und Kosinus zuordnen
\(\begin{aligned}{\color{#c2410c}\sin}(135^\circ)&=\frac{\sqrt2}{2}\approx0{,}707\\{\color{#047857}\cos}(135^\circ)&=-\frac{\sqrt2}{2}\approx-0{,}707\end{aligned}\)
Darauf achten: Der Bezugswinkel liefert die Beträge. Die Vorzeichen musst du zusätzlich aus dem Quadranten bestimmen.
Gradmaß in Bogenmaß umrechnen.
GEGEBEN
Eine halbe Drehung entspricht \(180^\circ=\pi\,\mathrm{rad}\). Für die Umrechnung gilt \(x=\alpha\cdot\frac{\pi}{180^\circ}\).
DEIN AUFTRAG
Gib das Bogenmaß zu \(90^\circ\) und \(180^\circ\) an. In die Felder kommt nur der Zahlenwert in Radiant: zum Beispiel \(\mathtt{pi/2}\) oder eine auf drei Nachkommastellen gerundete Zahl.
Hinweis: den Anteil an \(180^\circ\) bestimmen
\(90^\circ\) ist die Hälfte von \(180^\circ\). Derselbe Anteil wird auch auf \(\pi\) angewendet.
Weiterer Hinweis: einsetzen und kürzen
Für \(90^\circ\) entsteht \(\frac{90\pi}{180}\), für \(180^\circ\) entsteht \(\frac{180\pi}{180}\).
Lösungsweg anzeigen
SCHRITT FÜR SCHRITT
\(1\) · Die Umrechnungsrichtung festlegen
Von Grad zu Radiant multiplizieren wir mit \(\frac{\pi}{180^\circ}\). Der Winkel selbst bleibt derselbe.
\(2\) · \(90^\circ\) umrechnen
\(\begin{aligned}x&=90^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}\\&=\frac{\pi}{2}\approx1{,}571\end{aligned}\)
\(3\) · \(180^\circ\) umrechnen
\(\begin{aligned}x&=180^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}\\&=\pi\approx3{,}142\end{aligned}\)
Die Zahlenwerte sind in Radiant angegeben. \(\pi\) entspricht hier genau einer halben Drehung.
Darauf achten: \(90^\circ\) und \(90\,\mathrm{rad}\) sind verschiedene Winkel. Beim Umrechnen ändern sich Zahlenwert und Einheit zusammen.
Vom Bogenmaß zurück zum Gradmaß.
GEGEBEN
Es gilt \(\pi\,\mathrm{rad}=180^\circ\). Gesucht ist das Gradmaß zu \(\frac{\pi}{6}\,\mathrm{rad}\) und \(\frac{3\pi}{2}\,\mathrm{rad}\).
DEIN AUFTRAG
Rechne beide Winkel in Grad um. Gib in die Felder nur den Zahlenwert ohne Gradzeichen ein.
Hinweis: die Umkehrung verwenden
Von Radiant zu Grad multiplizierst du mit \(\frac{180^\circ}{\pi}\).
Weiterer Hinweis: \(\pi\) kürzt sich
Bei \(\frac{\pi}{6}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\) bleibt \(180^\circ/6\). Bei \(\frac{3\pi}{2}\) bleibt \(3\cdot180^\circ/2\).
Lösungsweg anzeigen
SCHRITT FÜR SCHRITT
\(1\) · Die passende Formel wählen
Wenn der Zahlenwert in Radiant \(x\) ist, lautet das Gradmaß \(\alpha=x\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\).
\(2\) · Den ersten Winkel umrechnen
\(\frac{\pi}{6}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\frac{180^\circ}{6}=30^\circ\)
\(3\) · Den zweiten Winkel umrechnen und einordnen
\(\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\frac{3\cdot180^\circ}{2}=270^\circ\)
\(30^\circ\) ist ein Zwölftel einer vollen Drehung; \(270^\circ\) sind drei Viertel einer vollen Drehung.
Darauf achten: Für Radiant zu Grad steht \(180/\pi\) im Umrechnungsfaktor. \(\pi/180\) wäre die andere Richtung.
Eine Sinusperiode aus fünf Werten aufbauen.
GEGEBEN
Gegeben ist \(f(x)={\color{#c2410c}\sin} x\), wobei \(x\) im Bogenmaß gemessen wird. Die Stellen \(0\), \(\frac\pi2\), \(\pi\), \(\frac{3\pi}{2}\) und \(2\pi\) entsprechen einer vollen Drehung.
DEIN AUFTRAG
Ergänze die fünf Funktionswerte. Verfolge dazu am Einheitskreis jeweils die Höhe des Kreispunkts.
Hinweis: Sinus ist die Höhe
Der Sinuswert ist die \(y\)-Koordinate am Einheitskreis. Starte bei \((1\mid0)\).
Weiterer Hinweis: die Achsenpunkte ablaufen
Gehe gegen den Uhrzeigersinn: rechts → oben → links → unten → rechts. Die Höhen sind jeweils \(0\), \(1\), \(0\), \(-1\), \(0\).
Lösungsweg anzeigen
SCHRITT FÜR SCHRITT
\(1\) · Die Winkel an den Kreis übertragen
Die Stellen entsprechen \(0^\circ\), \(90^\circ\), \(180^\circ\), \(270^\circ\) und \(360^\circ\).
\(2\) · Die Höhen ablesen
\(\begin{aligned}{\color{#c2410c}\sin}0&=0\\{\color{#c2410c}\sin}\frac\pi2&=1\\{\color{#c2410c}\sin}\pi&=0\\{\color{#c2410c}\sin}\frac{3\pi}{2}&=-1\\{\color{#c2410c}\sin}2\pi&=0\end{aligned}\)
\(3\) · Die Werte als Graphpunkte lesen
Die Punkte lauten \((0\mid0)\), \((\frac\pi2\mid1)\), \((\pi\mid0)\), \((\frac{3\pi}{2}\mid-1)\) und \((2\pi\mid0)\). Auf der waagerechten Graphachse steht der Winkel; auf der senkrechten steht seine Kreispunkthöhe.
Darauf achten: Die Graphpunkte \((x\mid{\color{#c2410c}\sin} x)\) sind nicht die Kreispunkte \(({\color{#047857}\cos} x\mid{\color{#c2410c}\sin} x)\). Die waagerechte Koordinate hat in beiden Darstellungen eine andere Bedeutung.
Wo hat der Kosinus Nullstellen?
GEGEBEN
Untersuche \(g(x)={\color{#047857}\cos} x\) im Intervall \(0\le x<2\pi\). Die linke Grenze gehört dazu, die rechte Grenze nicht.
DEIN AUFTRAG
Bestimme alle Nullstellen in diesem Intervall. Trage die beiden Zahlen in aufsteigender Reihenfolge ein. Exakte Eingabe mit \(\mathtt{pi}\) oder Rundung auf drei Nachkommastellen ist möglich.
Hinweis: Kosinus ist die waagerechte Koordinate
\({\color{#047857}\cos} x=0\) bedeutet: Der Kreispunkt liegt auf der \(y\)-Achse.
Weiterer Hinweis: oben und unten
Der Kreis schneidet die \(y\)-Achse bei einer Vierteldrehung und bei drei Vierteln einer Drehung.
Lösungsweg anzeigen
SCHRITT FÜR SCHRITT
\(1\) · Die Nullstellenbedingung übersetzen
Gesucht sind die Winkel, bei denen die \(x\)-Koordinate des Kreispunkts \(0\) ist.
\(2\) · Die beiden Winkel bestimmen
\(\begin{aligned}x_1&=\frac\pi2\approx1{,}571\\x_2&=\frac{3\pi}{2}\approx4{,}712\end{aligned}\)
\(3\) · Intervall und Vollständigkeit prüfen
Beide Zahlen liegen in \([0;2\pi)\). Die Randwerte erfüllen \({\color{#047857}\cos}0={\color{#047857}\cos}2\pi=1\) und sind keine Nullstellen. In einer vollen Drehung gibt es genau die beiden gesuchten Achsenschnittpunkte.
Darauf achten: Die Nullstellen von Kosinus liegen an anderen Stellen als die von Sinus. Bei Kosinus prüfst du die waagerechte Kreiskoordinate.
Tangens aus Sinus und Kosinus berechnen.
GEGEBEN
Für \({\color{#047857}\cos}\alpha\ne0\) gilt \({\color{#0369a1}\tan}\alpha=\frac{{\color{#c2410c}\sin}\alpha}{{\color{#047857}\cos}\alpha}\). Verwende die bekannten Werte zu \(45^\circ\) und \(135^\circ\).
DEIN AUFTRAG
Berechne \({\color{#0369a1}\tan}(45^\circ)\) und \({\color{#0369a1}\tan}(135^\circ)\). Begründe das Vorzeichen des zweiten Ergebnisses.
Hinweis: gleiche Beträge kürzen
Bei beiden Winkeln haben Sinus und Kosinus den Betrag \(\sqrt2/2\).
Weiterer Hinweis: die Vorzeichen beachten
Bei \(45^\circ\) sind beide Werte positiv. Bei \(135^\circ\) ist Sinus positiv und Kosinus negativ.
Lösungsweg anzeigen
SCHRITT FÜR SCHRITT
\(1\) · Die passenden Werte einsetzen
\({\color{#c2410c}\sin}45^\circ={\color{#047857}\cos}45^\circ=\sqrt2/2\). Für \(135^\circ\) gilt \({\color{#c2410c}\sin}135^\circ=\sqrt2/2\), aber \({\color{#047857}\cos}135^\circ=-\sqrt2/2\).
\(2\) · Den Tangens bei \(45^\circ\) berechnen
\({\color{#0369a1}\tan}45^\circ=\frac{\sqrt2/2}{\sqrt2/2}=1\)
\(3\) · Den Tangens bei \(135^\circ\) berechnen
\({\color{#0369a1}\tan}135^\circ=\frac{\sqrt2/2}{-\sqrt2/2}=-1\)
Eine positive Zahl geteilt durch eine negative Zahl ist negativ.
Darauf achten: Tangens ist nicht bei allen Winkeln definiert. Bei \(90^\circ\) und \(270^\circ\) ist der Nenner \({\color{#047857}\cos}\alpha=0\); Division durch \(0\) ist nicht erlaubt.
Amplitude, Mittellinie und Wertebereich.
GEGEBEN
Gegeben ist \(f(x)=2{\color{#c2410c}\sin} x+1\) für \(x\in\mathbb R\). Die Grundfunktion erfüllt \(-1\le{\color{#c2410c}\sin} x\le1\).
DEIN AUFTRAG
Bestimme die Amplitude, die Höhe der Mittellinie sowie den kleinsten und größten Funktionswert.
Hinweis: zuerst mit \(2\) multiplizieren
Wenn \({\color{#c2410c}\sin} x\) zwischen \(-1\) und \(1\) liegt, liegt \(2{\color{#c2410c}\sin} x\) zwischen \(-2\) und \(2\).
Weiterer Hinweis: dann \(1\) addieren
Addiere zu beiden Grenzen \(1\). Die Amplitude ist der Abstand der Mittellinie zum Hochpunkt oder Tiefpunkt.
Lösungsweg anzeigen
SCHRITT FÜR SCHRITT
\(1\) · Die Amplitude ablesen
Der Faktor \(2\) streckt die Sinuswerte in senkrechter Richtung. Die Amplitude lautet \(A=|2|=2\).
\(2\) · Die Mittellinie bestimmen
Das anschließende \(+1\) verschiebt den ganzen Graphen um \(1\) nach oben. Die Mittellinie ist \(y=1\), also \(d=1\).
\(3\) · Die Grenzwerte berechnen
\(\begin{aligned}f_{\min}&=1-2=-1\\f_{\max}&=1+2=3\\W&=[-1;3]\end{aligned}\)
Die Spanne vom Tiefpunkt zum Hochpunkt beträgt \(4\); die Amplitude ist die Hälfte davon.
Darauf achten: Die Amplitude ist weder der höchste Funktionswert noch die gesamte Höhe der Welle. Sie ist der Abstand von der Mittellinie zu einer Spitze.
Wie verändert \({\color{#c2410c}\sin}(2x)\) die Periode?
GEGEBEN
Gegeben ist \(g(x)={\color{#c2410c}\sin}(2x)\), mit \(x\) im Bogenmaß. Der Sinus wiederholt sich, wenn sein inneres Argument um \(2\pi\) wächst.
DEIN AUFTRAG
Bestimme die kleinste positive Periode \(T\). Berechne zusätzlich \(g(\frac\pi4)\) und die Anzahl vollständiger Perioden im Abschnitt \([0;2\pi]\). Für \(T\) ist eine exakte Eingabe mit \(\mathtt{pi}\) oder Rundung auf drei Nachkommastellen möglich.
Hinweis: das innere Argument vergleichen
Für eine volle Wiederholung muss \(2(x+T)-2x=2\pi\) gelten.
Weiterer Hinweis: der Faktor \(2\) wirkt innen
Aus \(2T=2\pi\) folgt \(T=\pi\). Für den Funktionswert ist zuerst \(2\cdot\frac\pi4\) zu berechnen.
Lösungsweg anzeigen
SCHRITT FÜR SCHRITT
\(1\) · Die Wiederholung im Argument ansetzen
\(\begin{aligned}2(x+T)-2x&=2\pi\\2T&=2\pi\\T&=\pi\approx3{,}142\end{aligned}\)
\(2\) · Den Funktionswert berechnen
\(\begin{aligned}g\left(\frac\pi4\right)&={\color{#c2410c}\sin}\left(2\cdot\frac\pi4\right)\\&={\color{#c2410c}\sin}\frac\pi2=1\end{aligned}\)
\(3\) · Die Perioden zählen
Der Abschnitt hat Länge \(2\pi\). Die Anzahl vollständiger Perioden ist \(\frac{2\pi}{\pi}=2\). Die Amplitude bleibt \(1\), weil kein Faktor vor dem Sinus steht.
Darauf achten: Ein Faktor im Argument verändert die Periode. \({\color{#c2410c}\sin}(2x)\) hat Periode \(\pi\), während \(2{\color{#c2410c}\sin} x\) weiterhin Periode \(2\pi\) hat.
Vier Parameter und einen Wert Schritt für Schritt lesen.
GEGEBEN
Gegeben ist \(f(x)=2{\color{#c2410c}\sin}\bigl(2(x-\frac\pi4)\bigr)+1\). Vergleiche mit \(f(x)=a{\color{#c2410c}\sin}\bigl(b(x-c)\bigr)+d\). Alle Winkel stehen im Bogenmaß.
DEIN AUFTRAG
Bestimme \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), die Periode \(T\) und \(f(\frac\pi4)\). Verwende für \(c\) und \(T\) \(\mathtt{pi}\) oder runde auf drei Nachkommastellen.
Hinweis: die Klammerform beibehalten
Lies den Faktor vor Sinus als \(a\), den Faktor vor der inneren Klammer als \(b\), die Zahl in \(x-c\) als \(c\) und die äußere Verschiebung als \(d\).
Weiterer Hinweis: an der Verschiebungsstelle einsetzen
An der Stelle \(x=c=\pi/4\) wird \(x-c=0\). Berechne anschließend \({\color{#c2410c}\sin}0\). Für die Periode gilt \(T=2\pi/|b|\).
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SCHRITT FÜR SCHRITT
\(1\) · Die Parameter direkt vergleichen
\(\begin{aligned}a&=2,&b&=2\\c&=\frac\pi4,&d&=1\end{aligned}\)
Die Amplitude ist \(2\), die Mittellinie \(y=1\), und die Sinuswelle ist um \(\pi/4\) nach rechts verschoben.
\(2\) · Die Periode berechnen
\(T=\frac{2\pi}{|b|}=\frac{2\pi}{2}=\pi\)
\(3\) · Von innen nach außen einsetzen
\(\begin{aligned}f\left(\frac\pi4\right)&=2{\color{#c2410c}\sin}\left(2\left(\frac\pi4-\frac\pi4\right)\right)+1\\&=2{\color{#c2410c}\sin}0+1\\&=2\cdot0+1=1\end{aligned}\)
Darauf achten: In \(b(x-c)\) beschreibt \(c\) die waagerechte Verschiebung. Nach dem Ausmultiplizieren ist der konstante Argumentterm \(-bc\); er darf nicht direkt als \(-c\) gelesen werden.
Aus Graphmerkmalen eine Sinusfunktion aufbauen.
GEGEBEN
Eine Sinusfunktion hat kleinsten Wert \(-2\), größten Wert \(4\) und kleinste positive Periode \(\pi\). Ihr erster aufsteigender Durchgang durch die Mittellinie bei \(x\ge0\) liegt bei \(x=\pi/6\). Verwende die Form \(f(x)=a{\color{#c2410c}\sin}\bigl(b(x-c)\bigr)+d\) mit \(a>0\), \(b>0\) und \(0\le c<\pi\).
DEIN AUFTRAG
Bestimme die vier Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\). Stelle daraus auf Papier die Funktionsgleichung auf. Für \(c\) ist exakte Eingabe oder Rundung auf drei Nachkommastellen möglich.
Hinweis: Höhe und Mitte getrennt bestimmen
Die Amplitude ist \(a=(4-(-2))/2\). Die Mittellinie ist \(d=(4+(-2))/2\).
Weiterer Hinweis: Periode und Startstelle nutzen
Aus \(T=2\pi/b\) folgt \(b=2\pi/T\). Bei positiven \(a\) und \(b\) steigt der Sinus an der Stelle \(x=c\) durch die Mittellinie.
Lösungsweg anzeigen
SCHRITT FÜR SCHRITT
\(1\) · Die Amplitude aus der Spanne gewinnen
\(a=\frac{4-(-2)}{2}=\frac62=3\)
Die positive Wahl ist vorgegeben.
\(2\) · Die Mittellinie als Mittelwert finden
\(d=\frac{4+(-2)}{2}=\frac22=1\)
\(3\) · Den inneren Faktor und die Verschiebung bestimmen
\(\begin{aligned}b&=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{\pi}=2\\c&=\frac\pi6\end{aligned}\)
Da \(a\) und \(b\) positiv sind, ist \(x=c\) ein aufsteigender Mittelliniendurchgang. Die Vorgabe \(0\le c<\pi\) wählt seine eindeutige Darstellung in einer Periode.
\(4\) · Die Gleichung aufstellen und prüfen
\(f(x)=3{\color{#c2410c}\sin}\left(2\left(x-\frac\pi6\right)\right)+1\)
Die Grenzwerte sind \(1-3=-2\) und \(1+3=4\). Die Periode ist \(2\pi/2=\pi\). Bei \(x=\pi/6\) ist der Wert \(1\), und unmittelbar rechts davon steigt der Sinus.
Darauf achten: Ohne die Vorgaben für Vorzeichen und Verschiebungsbereich gibt es mehrere äquivalente Parameterdarstellungen. Halte dich hier an \(a>0\), \(b>0\) und \(0\le c<\pi\).
\({\color{#c2410c}\sin}(\alpha)=\frac12\): beide Winkel finden.
GEGEBEN
Löse \({\color{#c2410c}\sin}\alpha=\frac12\) im Gradintervall \(0^\circ\le\alpha<360^\circ\).
DEIN AUFTRAG
Bestimme alle Lösungen und trage die beiden Gradwerte in aufsteigender Reihenfolge ein. Gib nur die Zahlen ohne Gradzeichen ein.
Hinweis: die Höhe \(\frac12\) auf dem Kreis suchen
\({\color{#c2410c}\sin}\alpha=1/2\) bedeutet, dass der Kreispunkt die Höhe \(y=1/2\) hat. Diese horizontale Linie schneidet den Kreis zweimal.
Weiterer Hinweis: die Symmetrie nutzen
Der erste Winkel ist \(30^\circ\). Der zweite hat dieselbe Höhe im zweiten Quadranten und lautet \(180^\circ-30^\circ\).
Lösungsweg anzeigen
SCHRITT FÜR SCHRITT
\(1\) · Den bekannten Bezugswinkel verwenden
Aus dem halbierten gleichseitigen Dreieck wissen wir \({\color{#c2410c}\sin}30^\circ=1/2\). Also ist \(\alpha_1=30^\circ\).
\(2\) · Die zweite Kreisschnittstelle bestimmen
Die Höhe \(1/2\) ist positiv. Der zweite Schnittpunkt liegt links oben im zweiten Quadranten.
\(\alpha_2=180^\circ-30^\circ=150^\circ\)
\(3\) · Prüfen und den Lösungsbereich beachten
\({\color{#c2410c}\sin}30^\circ={\color{#c2410c}\sin}150^\circ=1/2\). In den unteren Quadranten ist der Sinus negativ; dort entstehen keine weiteren Lösungen. Im vorgegebenen Intervall lautet die Lösungsmenge \(\{30^\circ;150^\circ\}\).
Darauf achten: Die Taste \(\arcsin\) liefert nur einen Hauptwert. Der zweite Winkel muss mit der Kreissymmetrie ergänzt werden.
\({\color{#047857}\cos}(x)=-\frac12\) im Bogenmaß lösen.
GEGEBEN
Löse \({\color{#047857}\cos} x=-\frac12\) im Intervall \(0\le x<2\pi\). Alle Winkel werden im Bogenmaß angegeben.
DEIN AUFTRAG
Bestimme beide Lösungen und trage sie aufsteigend ein. Verwende \(\mathtt{pi}\) oder runde auf drei Nachkommastellen.
Hinweis: die waagerechte Koordinate betrachten
Der Kosinus ist die \(x\)-Koordinate des Kreispunkts. \(-1/2\) liegt links vom Mittelpunkt; die Schnittpunkte sind oben links und unten links.
Weiterer Hinweis: den Bezugswinkel \(\pi/3\) nutzen
Es gilt \({\color{#047857}\cos}(\pi/3)=1/2\). Die gesuchten Winkel sind \(\pi-\pi/3\) und \(\pi+\pi/3\).
Lösungsweg anzeigen
SCHRITT FÜR SCHRITT
\(1\) · Den Bezugswinkel aus dem Betrag finden
Der Betrag des gesuchten Kosinuswerts ist \(1/2\). Dazu passt der Bezugswinkel \(\pi/3=60^\circ\).
\(2\) · Das negative Vorzeichen berücksichtigen
Links im Kreis ist Kosinus negativ. Die beiden passenden Quadranten sind \(\mathrm{II}\) und \(\mathrm{III}\).
\(\begin{aligned}x_1&=\pi-\frac\pi3=\frac{2\pi}{3}\\x_2&=\pi+\frac\pi3=\frac{4\pi}{3}\end{aligned}\)
\(3\) · Lösungen prüfen und eintragen
Beide Werte liegen in \([0;2\pi)\) und haben Kosinus \(-1/2\). Numerisch sind sie \(x_1\approx2{,}094\) und \(x_2\approx4{,}189\). Die senkrechte Gerade mit Kreiskoordinate \(-1/2\) hat genau diese beiden Schnittpunkte.
Darauf achten: Das negative Vorzeichen steht am Funktionswert. Es bedeutet nicht, dass die gesuchten Winkel im vorgegebenen Intervall negativ sein müssen.
Eine Sinusgleichung mit innerem Faktor lösen.
GEGEBEN
Löse \(2{\color{#c2410c}\sin}(2x)-1=0\) im Intervall \(0\le x<2\pi\). Alle Winkel stehen im Bogenmaß.
DEIN AUFTRAG
Bestimme alle vier Lösungen. Trage die Werte in aufsteigender Reihenfolge ein; exakte Eingabe mit \(\mathtt{pi}\) oder Rundung auf drei Nachkommastellen ist möglich.
Hinweis: zuerst den Sinus isolieren
Addiere \(1\) und teile durch \(2\). Danach lautet die Gleichung \({\color{#c2410c}\sin}(2x)=1/2\). Setze vorübergehend \(u=2x\).
Weiterer Hinweis: das \(u\)-Intervall ist doppelt so lang
Aus \(0\le x<2\pi\) folgt \(0\le u<4\pi\). Suche die beiden bekannten Winkel in der ersten Sinusperiode und ergänze jeweils \(2\pi\) für die zweite. Teile zuletzt alle \(u\)-Werte durch \(2\).
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SCHRITT FÜR SCHRITT
\(1\) · Die Gleichung vereinfachen
\(\begin{aligned}2{\color{#c2410c}\sin}(2x)-1&=0\\2{\color{#c2410c}\sin}(2x)&=1\\{\color{#c2410c}\sin}(2x)&=\frac12\end{aligned}\)
\(2\) · Das innere Argument als eigene Variable nutzen
Setze \(u=2x\). Der Suchbereich wird \(0\le u<4\pi\). In der ersten Periode sind \(u=\pi/6\) und \(u=5\pi/6\) die Lösungen.
\(3\) · Die zweite Periode ergänzen
\(\begin{aligned}u_1&=\frac\pi6,&u_2&=\frac{5\pi}{6}\\u_3&=\frac\pi6+2\pi=\frac{13\pi}{6}\\u_4&=\frac{5\pi}{6}+2\pi=\frac{17\pi}{6}\end{aligned}\)
\(4\) · Zu \(x\) zurückrechnen und prüfen
\(\begin{aligned}x_1&=\frac\pi{12},&x_2&=\frac{5\pi}{12}\\x_3&=\frac{13\pi}{12},&x_4&=\frac{17\pi}{12}\end{aligned}\)
Gerundet: \(0{,}262\), \(1{,}309\), \(3{,}403\), \(4{,}451\). Alle Werte liegen in \([0;2\pi)\). Jeder liefert \({\color{#c2410c}\sin}(2x)=1/2\), also \(2\cdot1/2-1=0\).
Darauf achten: Wenn du \(u=2x\) setzt, musst du auch den Suchbereich verdoppeln. Sonst fehlen die beiden Lösungen aus der zweiten Sinusperiode.
Ein Riesenrad mit einem Kosinusmodell beschreiben.
GEGEBEN
Ein Riesenrad hat Radius \(10\,\mathrm m\), Mittelpunktshöhe \(12\,\mathrm m\) und Umlaufzeit \(40\,\mathrm s\). Eine Gondel startet bei \(t=0\) am tiefsten Punkt. Sie fährt mit gleichmäßiger Winkelgeschwindigkeit. Nutze die Modellform \(h(t)=d-r{\color{#047857}\cos}(\omega t)\) für \(t\ge0\).
DEIN AUFTRAG
Bestimme \(d\), \(r\) und \(\omega\). Berechne die Höhen \(h(0)\), \(h(10)\) und \(h(20)\) in Metern. Für \(\omega\) ist \(\mathtt{pi/20}\) oder eine auf drei Nachkommastellen gerundete Zahl möglich.
Hinweis: Radius und Mittelpunkt übersetzen
Der Abstand zur Mittellinie ist der Radius \(r=10\). Die Mittellinie liegt auf Höhe \(d=12\). Das Minus vor Kosinus legt den Start unten fest.
Weiterer Hinweis: aus \(40\,\mathrm s\) eine volle Drehung machen
In einer Umlaufzeit muss das Argument um \(2\pi\) wachsen: \(\omega\cdot40=2\pi\). Bei \(t=0,10,20\) sind die Argumente \(0,\pi/2,\pi\).
Lösungsweg anzeigen
SCHRITT FÜR SCHRITT
\(1\) · Höhen und Startpunkt einordnen
Der Mittelpunkt liefert \(d=12\), der Radius liefert \(r=10\). Tiefster und höchster Punkt liegen bei \(12-10=2\,\mathrm m\) und \(12+10=22\,\mathrm m\).
\(2\) · Die Winkelgeschwindigkeit berechnen
\(\begin{aligned}\omega\cdot40&=2\pi\\\omega&=\frac{2\pi}{40}=\frac\pi{20}\end{aligned}\)
Die Einheit ist Radiant pro Sekunde. Damit lautet das Modell \(h(t)=12-10{\color{#047857}\cos}(\frac\pi{20}t)\).
\(3\) · Die drei Zeitpunkte einsetzen
\(\begin{aligned}h(0)&=12-10{\color{#047857}\cos}0\\&=12-10=2\\h(10)&=12-10{\color{#047857}\cos}\frac\pi2\\&=12-0=12\\h(20)&=12-10{\color{#047857}\cos}\pi\\&=12+10=22\end{aligned}\)
\(4\) · Das Modell mit der Bewegung prüfen
Nach \(10\,\mathrm s\) ist eine Vierteldrehung erreicht: Die Gondel ist auf Mittelpunktshöhe. Nach \(20\,\mathrm s\) ist sie nach einer halben Drehung oben. Nach \(40\,\mathrm s\) ist sie wieder unten. Der Wertebereich ist \([2;22]\,\mathrm m\).
Darauf achten: Bei \(t=0\) gilt \({\color{#047857}\cos}0=1\). Ein Plus vor \(10{\color{#047857}\cos}(\omega t)\) würde die Gondel oben starten lassen. Der Start unten verlangt hier das Minus.
ANWENDUNG · EIN RIESENRAD
Wie hoch sitzt du nach \(t\) Sekunden?
Der Radius beträgt \(10\,\mathrm m\), der Mittelpunkt liegt \(12\,\mathrm m\) über dem Boden. Eine Umdrehung dauert \(40\,\mathrm s\). Bei \(t=0\) startest du am tiefsten Punkt. Wir betrachten \(0\le t\le40\).
- \(d=12,\quad A=10\)Die Mittellinie ist die Höhe des Mittelpunktes, die Amplitude der Radius.
- \(b=\frac{2\pi}{40}=\frac\pi{20}\)Der innere Winkel muss in \(40\) Sekunden um \(2\pi\) wachsen. Hier ist \(b\) die Winkeländerung in Radiant pro Sekunde.
- \(h(t)=12-10{\color{#047857}\cos}\left(\frac{\pi t}{20}\right)\)Kosinus startet bei \(1\). Mit dem Minus davor startest du unterhalb der Mittellinie.
- \(h(0)=12-10=2\)Der tiefste Punkt liegt zwei Meter über dem Boden.
- \(h(10)=12\)Nach einer Viertelrunde ist der innere Winkel \(\pi/2\). Du bist auf Höhe des Mittelpunktes.
- \(h(20)=12+10=22\)Nach einer halben Runde sitzt du ganz oben. Die Höhen liegen zwischen \(2\,\mathrm m\) und \(22\,\mathrm m\).
DAS MODELL PRÜFEN
Bestimme die Höhe nach \(30\) und \(40\) Sekunden. Zeichne eine Skizze mit Mittelpunkt, höchstem und tiefstem Punkt. Passt der Verlauf zur Bewegung?
Zum Nachlesen: Wo bist du nach \(30\) und \(40\) Sekunden?
Nach \(30\) Sekunden ist das Argument \(3\pi/2\), also \(h(30)=12\,\mathrm m\). Du bist wieder auf Höhe des Mittelpunktes, jetzt auf dem Weg nach unten.
Nach \(40\) Sekunden ist das Argument \(2\pi\), also \(h(40)=2\,\mathrm m\). Eine volle Runde ist abgeschlossen.
BONUS / TRIGONOMETRIE HÖREN
Eine Sinuswelle wird zum Ton.
Dein Ziel: Du hörst, wie die Frequenz die Tonhöhe und die Amplitude die Lautstärke verändern.
Bis hierhin hast du Wellen gesehen. Jetzt kannst du eine Welle auch hören: Eine regelmäßige Schwingung kann Luftdruckschwankungen erzeugen. Ein Lautsprecher setzt das Signal in eine Bewegung um. Unser Werkzeug spielt einen reinen Sinuston.
VOM GRAPHEN ZUM KLANG
Diesmal ist der Eingang die Zeit.
Die Zeit \(t\) messen wir in Sekunden. Die Frequenz \(f\) sagt, wie viele vollständige Schwingungen in einer Sekunde stattfinden. Ihre Einheit heißt Hertz: \(1\,\mathrm{Hz}=1\,\mathrm{s}^{-1}\).
- \(\textcolor{#2563eb}{f=440\,\mathrm{Hz}}\)In einer Sekunde entstehen \(440\) vollständige Schwingungen. Mehr Schwingungen pro Sekunde hörst du als höheren Ton.
- \(T=\frac{1}{f}\)Die Periode \(T\) ist die Dauer einer einzelnen Schwingung. Je größer \(f\), desto kürzer \(T\).
- \(2\pi f t\)Während einer Periode wächst das innere Argument um \(2\pi\): eine volle Runde.
- \(y(t)=\textcolor{#c2410c}{A}\sin\bigl(2\pi\textcolor{#2563eb}{f}t\bigr)\)Die Amplitude \(A\) bestimmt den Ausschlag. Die Frequenz \(f\) bestimmt, wie dicht die Wellen liegen.
DEIN TON-LABOR
Hören, verändern, vergleichen.
Starte den Ton und ändere einen Regler. Die Gleichung und der Graph passen sich sofort an.
Links hörst du tiefere, rechts höhere Töne.
Bei \(A=0\) ist der Ton stumm. Eine größere Amplitude macht ihn lauter; die Tonhöhe bleibt gleich.
Jede Wiedergabe dauert höchstens \(10\) Sekunden. Währenddessen kannst du beide Regler bewegen.
\(y(t)=0{,}25\sin(2\pi\cdot440\cdot t)\)
\(T=\frac{1}{440}\,\mathrm{s}\approx2{,}273\,\mathrm{ms}\)
Das Zeitfenster bleibt gleich: \(0{,}010\,\mathrm{s}=10\,\mathrm{ms}\). Eine höhere Frequenz zeigt mehr Schwingungen im selben Fenster. Eine größere Amplitude macht die Ausschläge höher.
Was bedeutet „relativ“? Der Graph zeigt ein normiertes Tonsignal mit \(0\le A\le1\), keinen gemessenen Schalldruck. Die tatsächlich gehörte Lautstärke hängt zusätzlich von deinem Gerät und dessen Lautstärkeeinstellung ab. \(A\) ist hier keine Angabe in Dezibel.
ERST VORHERSAGEN, DANN HÖREN
Lass \(A\) gleich und vergleiche \(f=220\,\mathrm{Hz}\) mit \(f=440\,\mathrm{Hz}\). Wie ändern sich Tonhöhe und Periode? Lass danach \(f\) gleich und ändere nur \(A\).
HÖR-CHECK / DIE WELLE VERSTEHEN
Kannst du den Klang vorhersagen?
Du verdoppelst \(f\) und lässt \(A\) gleich. Was passiert?
Du stellst \(A=0\) ein und lässt \(f=440\,\mathrm{Hz}\). Was hörst du?
∑
π
√x
∫
x²
∞
Δ
f(x)